2013 年安徽预赛 · 第 2 题

解答

上图仅示意最后一个正半波内的两次相交，横坐标为区间内的相对位置；根数由严格单峰性证明，不能仅靠图形判断。

设 $h(x)=\sin (2013\pi x)-x^{2013}$，它是奇函数。若 $|x|>1$，则 $|x^{2013}|>1$， 不可能等于正弦；$x=\pm 1$ 也不是根，而 $x=0$ 是根。 在 $0<x<1$ 内，根只能处于正弦的正半波区间

对每个这样的区间，

严格递减：余弦从 $1$ 严格降至 $-1$，而 $x^{2012}$ 严格递增。 左端导数为正，右端导数为负，故 $h$ 先严格增后严格减，在区间内至多有两个零点。

当 $k\ge 1$ 时，两个端点处 $h<0$；在中点 $x=(2k+1/2)/2013<1$ 处， $h(x)=1-x^{2013}>0$。连续性与上述单峰性说明恰有两个根。 当 $k=0$ 时，左端 $h(0)=0$，且 $h^{\prime }(0)>0$，右端 $h<0$，故开区间 $I_0$ 内恰有一个根。 其余负半波内正弦非正而 $x^{2013}>0$，没有根；各非零分界点也不是根。 因此正根共有 $1+2\times 1006=2013$ 个，由奇对称性，实根总数为