2026 年重庆预赛

思路

所用 Hlawka 不等式是三向量模长关系：$|a+b|+|b+c|+|c+a|\le |a|+|b|+|c|+|a+b+c|$。这里不是直接引用名字，而是利用第一问及 $|a(a+b+c)+bc|\le |a||a+b+c|+|b||c|$ 的三个循环式证明；两侧非负才能平方比较。

想法从哪来：逐项用三角不等式只能得到每项不超过 $1$，完全没有利用总和为 $1$。 先试把两项合并：令 $D(z)=|z+i|-|z|$，希望找到 $D(a)+D(b)$ 与 $D(a+b)$ 的关系。取其余变量为零的构造还能提示，应在合并时允许多出一个常数 $1$。 第一问的平方恒等式并非孤立练习：它能消去三个模长和平方中的纯平方项，只留下可用三角不等式控制的交叉项，导出 $D(a)+D(b)\le 1+D(a+b)$。反复合并后再使用总和条件，最后独立核对等号构造。

第一问是复数模平方展开。它还可用于证明三个向量的 Hlawka 不等式；令其中一个向量 为 $i$ 后，可把两个目标差值合并为一个差值，反复合并直到只剩 $\sum z_k$。