易混 2021 年重庆预赛 · P006947
形式相似的顶点向量线性关系，必须先识别所选原点的几何身份。外心给出三向量等模，垂心给出两两点积相等；把这两种性质混用会从第一步就建立错误方程。
前题比较加权向量组合的模平方，再用圆心角与圆周角关系；后题先由高线垂直得到相等的交叉点积，再恢复边向量求角。
培玉 · 一试
2025 年广东预赛
外心向量关系确定内角正弦
F2填空题向量的数量积与几何意义
已知三角形 的外心 满足
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以外心为原点，三个顶点向量等长。
思路
由向量关系表示其中一个向量，再比较模长，得到 的夹角余弦。
解答
设
则三者的模都等于外接圆半径 。由 ，比较模长平方得
所以
圆心角 的余弦为 ，而
于是
由于 ，故
复核
即使圆心角取反角，其余弦仍等于 ；三角形内角的正弦为正，开方符号无歧义。
方法总结
外心向量题先利用三个顶点向量等模，把线性关系平方；顶点向量夹角是相应圆心角， 再用圆周角的二倍关系转回三角形内角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
隔离2OA并取模平方，直接确定OB与OC的数量积，再借cos2A还原正弦，内角正性选正根。
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