同一骨架 2025 年上海预赛 · P006369
两题都把三角量作为受限实参数，用平方关系消去另一种三角函数，再把问题化成代数。消元得到的每个候选值仍须落在原三角量允许的区间，代数解本身不保证能还原成真实角。
前题由复数相等得到两条同时成立的关系；后题由存在零点得到一族参数关系，还需优化给定目标并验证取等。
培玉 · 一试
2026 年江西预赛
含参三角函数有零点的参数最值
F3填空题三角函数综合
已知函数
有零点，则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
“有零点”意味着存在某个 使参数 落在一条直线上。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
固定 后，目标式是关于 的二次式，可先完成这一层最小化，再只需处理 。
解答
设 是 的一个零点，并令 。由 ，有
因此
令 。函数
在 上严格递减，因为
故
取 时，，且目标式等于 。所以最小值为
复核
固定 时平方项的系数 始终为正；端点 对应真实的余弦值，给出的 参数也已代回原函数核验，因此下界可以取到。
方法总结
含参函数“存在零点”的条件可把零点的函数值作为新参数，从而把存在性约束改写成参数 轨迹。对其中一个参数配方消元后，往往只剩一个有界三角量的单变量最值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
用零点对应的cosx作参数消去b，再对a配方，将存在零点的二维参数最值转为t²在[0,1]上的函数。
联系 · 2 条
同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 2 题 · P007258
两题都把三角量改写为一个有界实参数，用平方关系消去另一种三角表达式。代数化后的优化不能脱离原来的三角值域，最终还须给实际角度或函数零点来确认参数可实现。
一题的约束直接消去余弦，另一题从存在零点得到一族参数直线；后者还需固定三角参数后再消去一个系数。
已记下，谢谢！