2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

思路

关于 $y=x+m$ 的反射可由先把纵坐标减 $m$、交换两坐标、再把纵坐标加 $m$ 得到。两个多项式对所有实数都相等时，对应次幂的系数相等；这是恒等式，区别于只对某些交点成立的方程。

想法从哪来：两条抛物线形式不同，若先各求焦点和准线，再研究轴的反射，会多出一些不必要的条件。对称给的是整条曲线的对应，直接找一个任意点的反射位置更省事。斜率为一的对称轴，先平移成直线 $y=x$，交换横纵坐标后再平移回来，就能得到反射公式。 随后让第一条曲线上一个任意参数点的像满足第二条曲线方程。这里“任意”很重要：所得等式须对每个横坐标成立，才可比较二次项、一次项与常数项，不能仅试几个点猜参数。解系数方程时保留开口参数为正这一条件，排除退化解。最后利用反射是可逆的，检查所得参数确实把整条曲线映成另一条，而不只是局部包含。

关于 $y=x+m$ 的对称变换是 $(x,y)\mapsto (y-m,x+m)$，要求第一条抛物线上每个点的像都在第二条抛物线上。