2026 年山东预赛

解答

记 $Q(x,y)=x^2-y^2$。设第 $i$ 条弦的中点为 $C_i=(u_i,v_i)$，半弦向量为 $w_i=(s_i,t_i)$。两个端点均在双曲线上，相减得

在题目所求四条直线的斜率均有定义的构型中，弦斜率 $k_i=t_i/s_i$，而 $O{C}_i$ 的斜率为 $v_i/u_i$，故

再令 $S(x,y)=(y,x)$，即关于直线 $y=x$ 的反射。由 $u_i{s}_i-v_i{t}_i=0$ 可知 $w_i\Vert S{C}_i$。记过 $C_1$ 作的构造线为 $g_1$，过 $C_2$ 作的构造线为 $g_2$，于是

两条弦方向不同，故 $O{C}_1,O{C}_2$ 不平行，$O,C_1,C_2$ 非共线。若 $D=C_1$ 或 $D=C_2$，这四个命名点已同在 $O,C_1,C_2$ 的三点圆上。以下设 $D$ 与 $C_1,C_2$ 均不同。用模 $\pi$ 的有向角，反射满足 $\arg (SX)=\pi /2-\arg X$，所以

两角同对 $OD$，由共圆判定可得