2011 年河南预赛 · 第 6 题

解答

若 $x=1$，则和为 $2011$。 若 $x\ne 1$，由 $x^{10}=1$ 得

将前 $2010$ 项分成 $201$ 组，每组 $10$ 项，每组之和均为 $0$；又 $x^{2010}=(x^{10}{)}^{201}=1$。 因此原式等于 $1$。两个值都能达到：分别取 $x=1$ 和 $x=-1$ 即可。 故答案为 $\boxed{2011\text{ 或 }1}$。