2026 年新疆预赛

解答

设

并设 $x\in \mathbb{R}$ 为原方程的一个根。比较实部、虚部得

若 $v=0$，则 $z=\pm 1$。当 $z=1$ 时，方程为 $3x^2+3x+1=0$，判别式为 $-3$，无实根；当 $z=-1$ 时， $3x^2-3x-1=0$ 的判别式为 $21$，有实根。因此这一类只有 $z=-1$。

若 $v\ne 0$，由式 (1) 得 $x=1/3$，再代入实部方程：

故

于是另外两个复数为

所有符合条件的 $z$ 之和为