2010 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

（1）按题述非退化焦点三角形取 $P$，故 $y_P\ne 0$。外角平分线反射 $F_2$ 到 $Q$，使 $Q$ 在射线 $F_{1}P$ 上且越过 $P$，并有 $PQ=P{F}_2$。因此 $F_{1}Q=P{F}_1+P{F}_2=2a$。点 $R$ 是 $F_{2}Q$ 的中点，$O$ 是 $F_1{F}_2$ 中点，故 $OR=a$，而 $y_R\ne 0$。反过来，对 $|R|=a,y_R\ne 0$，取 $Q=2R-F_2$，便有 $F_{1}Q=2a>F_1{F}_2$。线段 $F_{1}Q$ 与 $F_{2}Q$ 的垂直平分线相交于唯一内点 $P$，该点满足 $P{F}_2=PQ$，于是 $P{F}_1+P{F}_2=2a$。又 $y_P\ne 0$，此线通过 $P$ 并把射线 $P{F}_2$ 反射到与 $P{F}_1$ 相反的射线，正是所述外角平分线。所以完整轨迹为 $\boxed{x^2+y^2=a^2,y\ne 0}$。（2）直线通过 $(-\sqrt{2}a,0)$，原点到它的距离为 $h=\sqrt{2}a|k|/\sqrt{1+k^2}$。两有效轨迹交点要求 $0<|k|<1$。弦长为 $2\sqrt{a^2-h^2}$，面积 $S=h\sqrt{a^2-h^2}\le a^2/2$，等号在 $h^2=a^2/2$。解得 $\boxed{k=\pm 1/\sqrt{3}}$。