2010 年辽宁预赛 · 第 12 题

解答

以下在焦点三角形及直线 $IG$ 都有定义的构型下计算。令 $Q=(x,y)$，其中 $y\ne 0$。重心 $G=(x/3,y/3)$。焦点三角形的两腰为 $a+ex,a-ex$，底边为 $2c$，周长 $2(a+c)$。内心按对边长加权给 $I=(ex,cy/(a+c))$。直线 $IG$ 平行横轴，故 $cy/(a+c)=y/3$。除以非零的 $y$，得到 $3c=a+c$，所以 $\boxed{e=1/2}$。