2009 年河南预赛 · 第 11 题

解答

由题设有 $-2\le f(x)\le 2$ 对全部 $x\in [1,5]$ 成立。直接消去一次与常数项，得

另一方面，节点界给出 $f(1)-2f(3)+f(5)\le 2+4+2=8$。要达到实际值8，必须每项都取上界，即 $f(1)=f(5)=2$、$f(3)=-2$。由 $m+n=1$、$3m+n=-11$ 得 $m=-6,n=7$。 反过来，此时 $f(x)=(x-3{)}^2-2$，对 $x\in [1,5]$ 有 $0\le (x-3{)}^2\le 4$，故全区间 $|f(x)|\le 2$。因此全部实数对只有 $\boxed{(m,n)=(-6,7)}$。