2012 年湖南预赛 · 第 2 题

解答

A的 $\sin |x|$ 为偶函数，但在 $(0,\pi /2)$ 递增；B的 $\cos |x|=\cos x$ 虽为偶且在该段递减，但 $\pi$ 不是它的周期。C的 $|\tan x|$ 为偶且以 $\pi$ 为周期，却在该段递增。 D的定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{k\pi :k\in \mathbb{Z}\}$，关于原点对称，并有 $|\sin (-x)|=|\sin x|$、$|\sin (x+\pi )|=|\sin x|$，故 $-\ln |\sin x|$ 为偶函数且以 $\pi$ 为周期。在 $(0,\pi /2)$ 上其导数为 $-\cot x<0$，严格递减。所以选 $\boxed{\mathrm{D}}$。