2012 年安徽预赛 · 第 3 题

解答

令 $t=\pi /11$，所求和为 $S={\sum }_{k=1}^5(-1{)}^{k+1}\cos kt$。先用补角把 $S$ 写成 $-{\sum }_{j=1}^5\cos (2jt)$：因为 $\cos ((11-2j)t)=-\cos (2jt)$，逐项配对即得 $S=-{\sum }_{j=1}^5\cos (2jt)$。 再由

且 $\sin t>0$，可得 $S=\boxed{1/2}$。