2013 年湖南预赛 · 第 6 题

解答

上图各箭头只表示空间方向的投影，记把 $a,b$ 平移到过 $P$ 后得到的两条相交方向线为 $a_0,b_0$。固定一个方向的法线和点 $P$，恰好确定一个过 $P$ 的平面；反之每个过 $P$ 的平面有唯一的无向法线方向。 直线与平面成 $45^{\circ }$ 角当且仅当它与平面法线成 $45^{\circ }$ 角，且只取决于方向，与直线的位置无关。因此可以把 $a,b$ 平移到同一点研究法线。

取它们的单位方向向量 $u,v$，使 $u\cdot v=\cos 60^{\circ }=1/2$。以两方向的内、外角平分线及其公垂方向为正交坐标轴，可写成

所求平面的单位法向量设为 $w=(p,q,r)$，则必须且只须

前两个数若异号，相加给 $p=0$，于是 $|q|=\sqrt{2}$，与单位长度矛盾。 若同号，相减给 $q=0$，并有 $p^2=2/3$、$r^2=1/3$。 法向量 $w$ 与 $-w$ 对应同一平面，故可选 $p>0$，恰余

二者不平行，各自满足全部条件。对应平面为 $w_{\pm }\cdot (X-P)=0$，因而对任意给定 $P$ 都存在且恰有两个。所填为 $\boxed{2}$。