2009 年辽宁预赛 · 第 3 题

解答

等比条件为 $b^2=ac$，所以 $\cos B=(a^2+c^2-ac)/(2ac)=(a/c+c/a-1)/2\ge 1/2$。由非退化性得 $0<B\le \pi /3$；此区间内每个角都可选正边比实现。函数 $\sin B+\cos B$ 在 $B=\pi /4$ 取最大 $\sqrt{2}$，在 $B\to 0^{+}$ 时趋向 1，且整个角区间均严格大于 1。因此完整范围为 $\boxed{(1,\sqrt{2}]}$，选 C。