2011 年中科大少年班初试 · 第 12 题

解答

设杯高为 $H$，水深为 $tH$，$0\le t\le 1$，水质量为 $bt$。水的重心在 $tH/2$，故总重心高度比为 $R(t)=(a+b{t}^2)/[2(a+bt)]$。（1）代 $b=3a,t=1/2$ 得 $\boxed{7/20}$。（2）导数符号由 $b{t}^2+2at-a$ 决定，其唯一正根 $t_0=[\sqrt{a^2+ab}-a]/b$ 位于零与一之间。导数在此前负、此后正，所以装水 $\boxed{\sqrt{a(a+b)}-a\text{ 克}}$ 时重心最低。