2009 年安徽预赛 · 第 12 题

解答

以中边为红边，其他为蓝边。任意三点的三条距离不同，其中间长度的一边按该三点已是中边，所以不存在蓝色三角形。 对六点，任取一个点，它向其余五点的边至少有三条同色。若三条为红，三个邻点间有红边便得红三角形，否则它们全蓝也构成被禁止的蓝三角形。若三条为蓝，则三个邻点间的每条边都必须为红，否则与原点组成蓝三角形，因而仍得红三角形。故六点必有中边三角形。 证明五点不足，取

十条边的平方长度按 $AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE$ 为

全不相同。十个三点组的有向面积二倍数按 $ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE$ 为

都不为零。逐三点比较长度，它们的中边依次为

所以全部中边恰为五边形环 $A-C-D-B-E-A$，没有三角形。该构型满足两条原性质，故最小保证点数为 $\boxed{6}$。