培玉 · 一试
2009 年陕西预赛 · 第 7 题
F3填空题平面几何综合
如图， 是半圆 的直径， 是半圆上的两个动点，且 。若半圆的半径为 ，则梯形 周长的最大值是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
平行弦的端点关于直径中垂线对称，周长只需一个参数。
思路
用腰长换元后，目标直接成为开口向下的二次式。
解答
取半圆圆心为原点，。可设 ，其中0<t<1。两腰长均为 ，故
因此最大值为5，在u=1、t=1/2时取得，所求为
复核
取C=(1/2,/2)、D=(−1/2,/2)，两腰和上底长度均为1，下底为2，周长5。此构型在半圆上且梯形不退化。
方法总结
半圆内的平行弦常有对称腰长，改用腰长参数比直接对根式求导更简洁；仍要回查参数区间。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
平行弦的对称性把周长压成一个参数，改用腰长后可直接配方；取等仍需回查半圆上的非退化构型。
已记下，谢谢！