培玉 · 一试

专题地图 › 三角恒等变形

2025 年浙江预赛

切比雪夫多项式递推求值

F2填空题三角恒等变形

设 $n$ 为正整数，定义 $P_{n} (cos x) = cos n x$ ，则

P_{2025} (cos 5^{\circ}) + 2 cos 18 5^{\circ} P_{2024} (cos 5^{\circ}) + P_{2023} (sin 8 5^{\circ}) = .

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

用sin85度=cos5度和cos185度=−cos5度统一参数后，正好是cosnt的标准三项递推左边。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：三角恒等变形

专题卡：倍角余弦：三项递推，乘正弦消去相邻项