易混 2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 8 题 · P007195
四条边都出现三种颜色时，必有一种颜色出现两次，但相邻方格的这种重复色可以相同，也可以不同。只要求各格三色齐全可按共享边连续完成；额外要求三个主导色各一次，就必须追踪主导色安排，不能照搬同一个局部乘数。
共同边只染一次，两题均要保留它的颜色；新增的全局颜色要求决定能否直接把每格完成数连乘。
培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题
F3填空题组合计数综合
一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的。如图，一个 方格表的表格线共含 条单位长线段，现要对这 条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的。这样的染色方式数为（答案用数值表示）。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
从左到右逐格填色时，每一格左边的颜色已经确定，只需给其余三边染色。
思路
这个局部完成数与已确定的颜色无关，因而可以连续使用乘法原理。
解答
先给最左边的竖边染色，有 种选择。 考察左边颜色已经确定为红色的一个方格，右边与上、下边尚未染色。 若右边也是红色，则上、下边必须分别为黄、蓝，有 种。 若右边是黄色或蓝色之一，有 种选择；设为黄色，则上、下边中至少有一边为蓝色，共有 种。 所以任一已固定左边颜色的方格恰有
种完成方式。 按左、中、右三个方格的次序进行，每次新染的都是该格的上边、下边和右边，其左边已在前一步固定。每个完整染法唯一对应这一过程，故所求数为
复核
这里“多彩”等价于四条边中三色都出现，重复颜色不必固定。逐格过程共染 条不同线段；独立枚举全部 种染色并逐格检查，得到 种。
方法总结
链状图形有共享边时，可沿链逐格处理；若每一步完成数只依赖已固定边的颜色、且颜色对称，则局部计数可直接相乘。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是选择沿链逐格完成，使每步只固定一边且完成数与该边颜色无关，局部12种随后可连续相乘。
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