2026 年江苏预赛

解答

先对一般的 $4\times n$ 矩形计数。设蓝格数为 $m$，蓝蓝公共边数为 $e$， 蓝白公共边数为 $f$。又设所有蓝格位于矩形外边界上的边数之和为 $R$； 例如角上的蓝格对 $R$ 贡献 $2$。

因为每个蓝格至少有一个相邻蓝格，所以

每个白格至少有一个相邻蓝格，所以

另一方面，所有蓝格在方格图中的度数之和既等于 $2e+f$，又等于 $4m-R$。由式 (1)、(2)，

即

当$n\ge 4$时，矩形共有 $2n+4$ 个边界格。除四个位置 $(2,2),(3,2),(2,n-1),(3,n-1)$外，一个有$r$条外边界边的格子至多邻接$1+r$个边界格。 这四个内格各可能多邻接一个边界格，额外贡献总计至多$4$。 每个边界格必须有蓝色邻格，因而$2n+4\le m+R+4$，即

由式 (3)、(4) 消去 $R$，可得

取 $n=2026$，式 (5) 给出

下面给出达到此下界的染色。把行从上到下编号为 $1,2,3,4$，列从左到右编号为 $1,2,\dots ,2026$。将下列单位正方格染成蓝色：

每个长度为 $5$ 的完整列块中，第 $1$ 列的两个中间蓝格上下相邻， 第 $3,4$ 列的上、下蓝格分别横向成对；未染色格则分别与本块或相邻块中的这些蓝格 相邻。最后一列为第 $2026=5\cdot 405+1$ 列，其两个中间蓝格彼此相邻， 上下两个格也分别与它们相邻。因此式 (7) 确实控制了全部单位正方格。

蓝格总数为

结合式 (6)，所求最小值为