2010 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）设 $E=(-1,u),F=(-1,v)$。垂直给 $uv=-4$，所以两参数非零。由 $EP$ 水平，$y_P=u$；由 $FO\Vert OP$，得 $u+v{x}_P=0$，所以 $x_P=u^2/4>0$。反过来任意非零抛物线点都可取 $u=y,v=-4/y$ 还原，故 $\boxed{C:y^2=4x,x>0}$。（2）写 $l:y=kx+2$，联立得 $k^2{x}^2+(4k-4)x+4=0$。有两个不同点要求 $k\ne 0,k<1/2$。根和 $s=4(1-k)/k^2$，根积 $t=4/k^2$，所以 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=(1+k^2)t+(2k-1)s+5=1+12/k$。与真实割线域联立严格小于零，得到 $\boxed{k\in (-12,0)}$。