易混 2008 年黑龙江预赛 第 8 题 · P010103
焦点构造中的等边三角形可先统一到一个长度尺度；但椭圆用焦距和，双曲线用其自身的轴间关系，合法离心率范围也分别限制代数根。
前题从两个已知曲线点比较距离，先确定另一个焦点在边上的位置；后题给的是等边三角形边中点在双曲线上，应代入真实中点坐标，不能把离心率平方当作离心率。
培玉 · 一试
2016 年全国高中数学联赛湖北预赛 · 第 3 题
F2填空题椭圆
已知 是等边三角形，椭圆 的一个焦点为 ，另一个焦点 在线段 上。如果椭圆 恰好经过 两点，则它的离心率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
椭圆经过两个等距于焦点 的点，先用焦点距离和相等确定另一焦点的位置，再求 。
思路
解答
设等边三角形的边长为 ，椭圆的长半轴长为 、半焦距为 。 因 都在椭圆上，椭圆定义给出
又 ，故 。结合 在线段 上，知 为 的中点，因而
所以椭圆的离心率为
复核与方法总结
所得 ，且 ，构型确为非退化椭圆。 两个已知椭圆点到一个焦点的距离相等时，它们到另一个焦点的距离也相等；先作这一比较，通常可免去椭圆方程。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用椭圆定义比较两已知点到焦点的距离和，常规推出另一焦点为中点，再求焦距与长轴之比。
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