易混 2009 年山西预赛 第 5 题 · P010260
两个距离相加之前，先辨认哪些点固定、哪些量在变化。绳长固定可给到两个接触顶点的距离和，从而形成分段椭圆；根式和在一条参数线上求最小时，则可设计固定向量和，用同向条件找最短构型。
前题接触的两顶点会随拉点方向改变，须按凸包边链分区并比较所有允许椭圆段；后题两根式可直接合成两个向量长度，关键是选对方向，使和向量真正与自变量无关。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F4解答题椭圆
在平面内固定摆放着一个边长为 的正方形框，现把一根周长为 的无弹性细绳圈摆放在该平面内，使正方形框在细绳圈内，今用一支笔 绑紧细绳，使其笔尖围绕细绳滑动出轨迹 （正方形边框、细绳及笔尖都不考虑粗细 及大小）。求轨迹 上的点到正方形框的中心的最大距离。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
凸包是包含给定图形与点的最小凸集。拉紧且包围正方形的绳圈，其有效边界由框架的一段边链及笔尖到两个接触顶点的线段组成；两距离之和固定就是椭圆。
想法从哪来：先判断绳子真正贴着哪些边，而不是把轨迹预设成一个完整椭圆。笔尖拉紧时，绳圈沿包含正方形和笔尖的最短凸边界走；随着笔尖越过边的延长线，离开框架的两个接触顶点会改变，因此需要分段。 利用正方形对称性，只看一个八分区域。在侧边正外侧，保留三条原边，剩余两段的长度和固定；越过上边后，保留的原边变成两条，两个焦点也随之改变。两段轨迹各是一个受区域限制的椭圆弧。求中心距离时，第一段可消去一个坐标并配方，第二段转动坐标后给上界；最后必须把等号点放回原区域和绳长条件检验。
绳圈被笔尖 拉紧时，绳长就是正方形与 的凸包周长。利用正方形的对称性， 只需研究第一象限中 的点。按 是否高于正方形上边分成两类，绳子 离开框架的两个接触顶点不同，但两类都化为椭圆。
解答
以正方形中心为原点，令四个顶点为 。由正方形的旋转、反射对称性， 可设轨迹上一点 满足
绳拉紧时，其长度等于正方形与点 的凸包周长。
先设 。此时 位于正方形右侧，绳子沿正方形其余三边的总长度为 ，并由 分别连到 与 。故
这是以 为焦点的椭圆，其方程为
令 ，则
当
时等号成立；该点确满足 及 。
再设 。此时绳子沿正方形左边和下边共长 ，并由 分别连到 与 ，所以
作旋转坐标
相应椭圆方程为
又 ，而 给出 ，故
于是
综上，轨迹上的点到中心的最大距离为
复核
分界 可归入任一情形，两条接触链连续衔接。第一类中的等号点满足对应椭圆方程， 且绳长为 ；第二类全部严格小于 ，故全局最大值没有遗漏。
方法总结
无弹性闭绳绕凸多边形并由一点拉紧时，可把绳长解释为该点与多边形凸包的周长。 根据拉点所在方向判断被替换的边链，常得到“到两个顶点距离之和为常数”的椭圆， 再借助图形对称性和适当坐标求距离最值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
按笔尖位置区分绳子贴住三边或两边，得到两个不同焦点的椭圆弧，再在各自有效区域比较最远距离。
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