培玉 · 一试

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2013 年黑龙江预赛 · 第 12 题

F3选择题等比数列与等差数列

已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{7} = a_{6} + 2 a_{5}$ 。若存在两项 $a_{n}, a_{m}$ 使得 $a_{m} a_{n} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）。

(A)
$\frac{25}{3}$
(B)
$\frac{25}{6}$
(C)
$\frac{5}{3}$
(D)
$\frac{3}{2}$

作答

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

先由项关系确定公比，再把乘积条件转为指数线性约束并优化 $1/ m + 4/ n$ ，评为 F3。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：设首项和公差（公比）、柯西不等式与投影

专题卡：看出等比关系的题：求公比，整段提公因子，再定范围、数列中的最值和恒成立：化成一个变量，配方求界，再验证能取到