2023 年福建预赛

解答

（1）令 $u=x+\pi /2$，则 $-\pi /2<u<\pi /2$，且

$u=0$ 给出一个零点。若 $u\ne 0$，则

其中负 $u$ 的情形由该商为偶函数得到。因此没有其他零点。故对所有 $m\le 1$，区间 $(-\pi ,0)$ 内恰有 $1$ 个零点。

（2）令 $x=-\pi /2-s$，其中 $0<s<t$。原不等式等价于

即

令 $s\to 0^{+}$，必要条件为 $|m-1|\le 2$。结合 $m\le 1$，得到 $m\ge -1$。

若 $m>-1$，则（1）左边在 $s\to 0^{+}$ 时趋于 $|m-1|<2$，由连续性可取充分小的 $t>0$ 使（1）恒成立。若 $m=-1$，则对充分小的 $s>0$，

所以临界值也满足。故所求最小值为