培玉 · 一试

专题地图 › 三角函数与解三角形

三角函数的图象与性质

从这里开始

先求像区间，再核对能否取到

把输入区间准确换成相位区间，检查中间极值与开闭端点；讨论任意窗口时，分别证明必要性和充分性。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

三角函数图象题适合先在相位轴上工作：降幂合成确定波形，零点和极值点转成等距相位点，最后再回到输入区间。周期、根数和窗口值域都受端点影响，不能只按区间长度估算。遇到复合函数或定义域断点时，先弄清当前研究的是完整函数、有限轨道，还是被截开的单调段。

先修（培玉高中数学）：诱导公式三角函数的图象与性质三角恒等变换函数 y=Asin(ωx+φ)导数在研究函数中的应用

知识要点

振幅、中心线与周期分开读取

对 $A sin (ω x + φ) + c$ ，当 $A \neq = 0, ω \neq = 0$ 时，振幅为 $∣ A ∣$ 、中心线为 $y = c$ 、最小正周期为 $2 π /∣ ω ∣$ 。例如 $3 sin 2 x + 1$ 的值域为 $[- 2, 4]$ ，周期为 $π$ 。若只在一个小区间上取值，不能直接使用全实轴值域；若振幅为零，周期结论也须另议。

先合并同频率，再看图象

同频率组合 $p sin t + q cos t$ 的振幅为 $p^{2} + q^{2}$ ，相位由两个系数共同决定。例如 $sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin (2 x + π /3)$ ，最大值为 $2$ 、最小值为 $- 2$ 。平方与四次式常先降幂，才能读出真正频率和中心线；不能直接把原式里最大的角系数当周期依据。

平移作用在相位上，奇偶条件要消掉偶部

将输入换成 $x - h$ ，相位变为 $ω x + φ - ωh$ 。例如 $2 sin (3 (x - π /6)) = - 2 cos 3 x$ ，平移后是偶函数。统一成 $u sin k x + v cos k x + w$ 后，若 $k \neq = 0$ ，奇函数要求 $v = w = 0$ ，偶函数要求 $u = 0$ 。平移距离与相位角有频率倍数，不能混为同一数。

零点和极值点都在相位轴上数

对标准正弦，零点相位为 $jπ$ ，极值点相位为 $π /2 + jπ$ ，其中 $j \in Z$ 。例如 $sin (2 x + π /6)$ 在 $[0, π]$ 的两个零点为 $5 π /12, 11 π /12$ 。开区间右端恰落到某个相位点时，该点不计入；闭端则计入。带非零中心线或求非零水平线交点时，要先另解相应正弦水平值。

三角代换先求精确像区间

只含 $sin x$ 或 $cos x$ 的代数式，可用一个区间变量替换。例如 $x \in [- π /6, π /6]$ 时 $t = sin x$ 恰遍历 $[- 1/2, 1/2]$ ，所以 $t^{2}$ 的范围为 $[0, 1/4]$ 。代数根落在像区间外时不能还原；落在端值 $\pm 1$ 时，每半波的原像数也不同于普通内点。求范围须给反向可达而不只是上、下界。

离散取值的重复数不等于函数周期

角每次增加 $2 π /3$ 时，正弦值至多三步循环，但三个位置未必给三个不同值。例如从 $π /2$ 开始的三个值为 $1, - 1/2, - 1/2$ ，集合只有两个元素。研究这类样本可用三项和为零、平方和为 $3/2$ 的关系；不能把集合元素数、序列循环步数、函数的横向周期混作一件事。

对称配根别漏固定点和半开端点

若 $F (π - x) = F (x)$ ，通常根可按 $x, π - x$ 配对，但固定点 $x = π /2$ 要单查；在 $(0, π]$ 中，端点 $π$ 的对应点 $0$ 又不在区间。例如 $F (x) = sin x$ 的水平值为 $1$ 时只有固定点一根，为 $0$ 时只有端点一根，而 $0 < a < 1$ 时有两根。对称本身不能保证根数为偶数。

证明最小周期与取遍值域需要额外一步

对 $G (x) = ∣ sin x ∣$ ， $π$ 是周期；若 $T > 0$ 也是周期，则 $G (T) = G (0) = 0$ ，故 $T$ 为 $π$ 的正整数倍，证明了最小性。周期长为 $T$ 的闭区间可取得连续周期函数的全部值，但长度恰为 $T$ 的开区间可能漏掉极值，例如 $∣ sin x ∣$ 在 $(0, π)$ 取不到零。用更长的开区间时可在内部放入完整闭周期。

方法卡

同频率的正弦余弦相加：合成一项，读振幅、中心线和频率

$p sin k x + q cos k x$ 在 $p, q$ 不全为 $0$ 时能写成一个正弦 $R sin (k x + φ)$ ，其中 $R = p^{2} + q^{2}$ 。平方项先降幂成这种形式， $sin^{4} x + cos^{4} x$ 这类降幂后只剩一个非零频率的也可以，再读最大值、周期和奇偶性。还剩多个频率时不能合成一项。 $φ$ 要由 $p, q$ 两个符号一起定。

完整讲解 · 例题 · 可练 24 题

一、是什么

记号和常用值

和角与降幂公式

公式： $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ 。理由：单位圆上两点 $(cos a, sin a), (cos b, sin b)$ 的距离平方是 $2 - 2 (cos a cos b + sin a sin b)$ ；把两点一起转 $- b$ ，变成 $(cos (a - b), sin (a - b)), (1, 0)$ ，距离不变，距离平方是 $2 - 2 cos (a - b)$ 。比较两式就得公式。把 $b$ 换成 $- b$ ，并用 $cos (- b) = cos b, sin (- b) = - sin b$ ，得 $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ 。再用 $sin u = cos (9 0^{\circ} - u)$ ，得 $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ 。令 $a = b = x$ ，得 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ， $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ ，所以 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ， $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ ， $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ 。这三条让平方项变成同一个角 $2 x$ 的一次式。

合成一项

设 $p, q$ 不全为 $0$ ， $R = p^{2} + q^{2} > 0$ 。点 $(\frac{p}{R}, \frac{q}{R})$ 到原点的距离是 $1$ ，所以有角 $φ$ 使 $cos φ = \frac{p}{R}, sin φ = \frac{q}{R}$ 。于是 $p sin u + q cos u = R (sin u cos φ + cos u sin φ) = R sin (u + φ)$ 。例如 $sin x + 3 cos x = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ ，代 $x = 0$ ：左边 $3$ ，右边 $2 \cdot \frac{3}{2}$ 。当 $p = q = 0$ 时，这个式子恒为 $0$ ，不能这样合成。

$φ$ 要看两个符号

$- sin x + cos x$ 中 $p = - 1, q = 1$ ， $R = 2$ 。需要 $cos φ = - \frac{2}{2}, sin φ = \frac{2}{2}$ ，所以 $φ = \frac{3 π}{4}$ ，式子等于 $2 sin (x + \frac{3 π}{4})$ 。只看 $tan φ = - 1$ 可能写成 $- \frac{π}{4}$ ，那是错的，它代入 $x = 0$ 得 $- 1$ ，原式是 $1$ 。合成后代一个值核对。

读振幅、中心线、频率

$y = R sin (k x + φ) + c$ ， $R > 0, k \neq = 0$ 。正弦取遍 $[- 1, 1]$ ，所以 $y$ 的值域是 $[c - R, c + R]$ 。 $c$ 是中心线， $R$ 是振幅， $k$ 是频率， $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ 是最小正周期。最大值在 $k x + φ = \frac{π}{2} + 2 nπ$ （ $n$ 是整数）取到。这些只在 $x$ 取遍全体实数时成立。 $x$ 限制在区间内时，要看相位 $k x + φ$ 走过哪一段。

平移和奇偶：别忘乘频率

把 $x$ 换成 $x - a$ 时， $sin (k x + φ)$ 变成 $sin (k x - ka + φ)$ ，相位变化是 $ka$ ，不是 $a$ 。对任意实数 $θ$ ： $sin (k x + θ) + sin (- k x + θ) = 2 sin θ cos k x$ 。所以 $g (x) = sin (k x + θ) + c$ （ $k \neq = 0$ ）是奇函数，也就是 $g (x) + g (- x) = 0$ 对所有 $x$ 成立，当且仅当 $2 c + 2 sin θ cos k x = 0$ 对所有 $x$ 成立。取 $x = \frac{π}{2 k}$ 得 $c = 0$ ，再取 $x = 0$ 得 $sin θ = 0$ 。反过来，这两条成立时 $g$ 确实是奇函数。

先看一道例题

例 1：由最大值反求系数，再找最大值点

设 $a > 0$ ， $y = sin^{2} x + a sin x cos x$ 的最大值是 $\frac{3}{2}$ 。求 $a$ ，并写出取到最大值的所有 $x$ 。

怎么看出来：

两项都是二次的，降幂后是 $sin 2 x, cos 2 x$ 的一次式，最大值就是中心线加振幅。

解：

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ， $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ ，所以 $y = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x$ 。这里 $p = \frac{a}{2}, q = - \frac{1}{2}$ ， $R = \frac{a ^{2} + 1}{2}$ ，最大值是 $\frac{1}{2} + R$ 。令它等于 $\frac{3}{2}$ ： $R = 1$ ， $a^{2} = 3$ ，又 $a > 0$ ，所以 $a = 3$ 。这时 $cos φ = \frac{3}{2}, sin φ = - \frac{1}{2}$ ， $φ = - \frac{π}{6}$ ， $y = \frac{1}{2} + sin (2 x - \frac{π}{6})$ 。取最大值时 $2 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 nπ$ ，即 $x = \frac{π}{3} + nπ$ 。核对： $x = \frac{π}{3}$ 时 $y = \frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 。

答案：

$a = 3$ ， $x = \frac{π}{3} + nπ$ ， $n$ 是整数。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
同一个角的 $sin$ 和 $cos$ 相加减	提出 $p^{2} + q^{2}$ ，合成一项
$sin^{2} x$ 、 $cos^{2} x$ 、 $sin x cos x$ 混在一起	全部降幂到 $2 x$ ，再合成
平移后是奇函数或偶函数	相位变化要乘频率；频率不为 $0$ 时，奇函数还要常数项为 $0$
$sin^{4} x + cos^{4} x$ 和 $sin 4 x$ 一起出现	把 $sin^{4} x + cos^{4} x$ 降到 $cos 4 x$ 。单独的 $sin^{4} x$ 还含 $cos 2 x$ ，不能这样合成（见进阶“四次项”）
问方程何时有解，或分式的最大值	合成后 $∣ c ∣ \leq R$ （见进阶“有解条件”）

三、怎么用

展开，整理成同频率。例如 $y = sin (2 x + \frac{π}{3}) + sin 2 x + 1$ ，展开得 $y = \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x + sin 2 x + 1 = \frac{3}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x + 1$ 。式子里有平方项时，这一步用降幂。
合成一项。 $p = \frac{3}{2}, q = \frac{3}{2}$ ， $R = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$ ， $cos φ = \frac{3}{2}, sin φ = \frac{1}{2}$ ， $φ = \frac{π}{6}$ ，所以 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ 。
读振幅、中心线、频率。振幅 $3$ ，中心线 $1$ ，频率 $2$ ，最小正周期 $π$ ，值域 $[1 - 3, 1 + 3]$ 。
用相位找位置。 $2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 nπ$ 得 $x = \frac{π}{6} + nπ$ ，这时取最大值。
代回原式核对。 $x = \frac{π}{6}$ 时， $sin \frac{2 π}{3} + sin \frac{π}{3} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 3 + 1$ 。

四、再做一道

例 2：平移后为奇函数

设 $f (x) = sin (2 x + φ) + c$ ， $∣ φ ∣ < \frac{π}{2}$ 。若 $g (x) = f (x - \frac{π}{6})$ 是奇函数，求 $φ, c$ 。

怎么看出来：

平移 $\frac{π}{6}$ ，相位变化是 $2 \cdot \frac{π}{6}$ 。奇函数要求常数项和 $sin θ$ 都为 $0$ 。

解：

$g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3} + φ) + c$ 。设 $θ = φ - \frac{π}{3}$ 。奇函数的条件是 $c = 0$ 且 $sin θ = 0$ 。所以 $φ - \frac{π}{3} = nπ$ ， $φ = \frac{π}{3} + nπ$ 。由 $∣ φ ∣ < \frac{π}{2}$ ，只有 $n = 0$ ： $φ = \frac{π}{3}$ 。反展开： $g (x) = sin 2 x$ ，确实是奇函数。

答案：

$φ = \frac{π}{3}, c = 0$ 。

五、容易错在哪

相位的平移要乘频率。把 $x$ 换成 $x - a$ 时， $sin k x$ 变成 $sin (k x - ka)$ 。
$φ$ 不能只由 $tan φ = \frac{q}{p}$ 定，两个符号都要满足。 $p = 0$ 时这个比值也没有意义。
频率不为 $0$ 时，常数项不为 $0$ 就不是奇函数，判断奇偶前先看中心线。
系数全为 $0$ 时振幅是 $0$ ， $k = 0$ 时式子是常数，没有最小正周期，这些退化情形不能套公式。
值域 $[c - R, c + R]$ 只在 $x$ 取遍全体实数时成立。 $x$ 限制在区间内时，要看相位走过的范围。

进阶：四次项 · 先修：本卡基础部分

四次项：先降到二倍角和四倍角

$sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x = \frac{3 + cos 4 x}{4}$ ，最后一步用 $sin^{2} 2 x = \frac{1 - cos 4 x}{2}$ 。这样就和 $sin 4 x$ 同频率了。

例 3：四次项和四倍角合成

求 $y = sin^{4} x + cos^{4} x + \frac{3}{4} sin 4 x$ 的值域。

怎么看出来：

四次项能化成 $cos 4 x$ ，和后面的 $sin 4 x$ 同频率。

解：

$sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{3 + cos 4 x}{4}$ ，所以 $y = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x$ 。 $R = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$ ， $cos φ = \frac{3}{2}, sin φ = \frac{1}{2}$ ， $φ = \frac{π}{6}$ 。 $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} sin (4 x + \frac{π}{6})$ ，值域 $[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$ 。核对： $x = 0$ 时原式为 $1$ ，右边 $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$ 。

答案：

$[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$ 。

进阶：有解条件 · 先修：本卡基础部分

有解条件和反解

方程 $p sin x + q cos x = c$ （ $p, q$ 不全为 $0$ ）合成后是 $R sin (x + φ) = c$ ，有实数解当且仅当 $∣ c ∣ \leq R$ ，也就是 $c^{2} \leq p^{2} + q^{2}$ 。这个条件还能反过来求范围：把要求的量 $y$ 留在系数里，整理成 $sin x, cos x$ 的一次方程，再看 $y$ 取何值时方程有解。式子含分母时，先确认分母恒不为 $0$ 再去分母。

含绝对值：先用对称缩小范围

把 $x$ 换成 $x + π$ 或 $π - x$ ， $∣ sin x ∣$ 和 $∣ cos x ∣$ 都不变，所以只含这两个绝对值的式子可以把 $x$ 限制在 $[0, \frac{π}{2}]$ 内研究。这时绝对值都可以去掉，再合成，并看相位在这一段走过哪里。最值可能在端点取到。

例 4：由有解求系数范围

方程 $sin x + a cos x = 2$ 有实数解，求实数 $a$ 的范围。

怎么看出来：

合成后最大值是 $1 + a^{2}$ ，右边 $2$ 不能超过它。

解：

$p = 1$ ，不会全为 $0$ 。 $R = 1 + a^{2}$ ，方程是 $R sin (x + φ) = 2$ 。有解当且仅当 $2 \leq R$ ，即 $1 + a^{2} \geq 4$ ， $a^{2} \geq 3$ 。检查边界 $a = 3$ ： $sin x + 3 cos x = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ ， $x = \frac{π}{6}$ 时等于 $2$ 。

答案：

$a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$ 。

真题

按这个方法练 · 24 题

收起并返回方法目录

恰有几个零点或极值点：把 $x$ 的区间换成相位区间，再数点

设 $t = ω x + φ$ （ $ω > 0$ ）。 $x$ 走过一段区间时， $t$ 也走过一段区间。把零点、最高点、最低点在 $t$ 轴上排好，看最后一个该进来的点和下一个不该进来的点，就能夹出参数。

完整讲解 · 例题 · 可练 12 题

一、是什么

记号： $sin t$ 的零点和极值点

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $t$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos t$ ，纵坐标叫 $sin t$ 。落点在横轴上时 $sin t = 0$ ，所以 $sin t$ 的零点是 $t = kπ$ （ $k$ 是整数）。落点在最高处时 $sin t = 1$ ，即 $t = \frac{π}{2} + 2 kπ$ ；在最低处时 $sin t = - 1$ ，即 $t = - \frac{π}{2} + 2 kπ$ 。这两类点合称 $sin t$ 的极值点，合起来就是 $t = \frac{π}{2} + kπ$ 。 $cos t$ 的零点也是 $t = \frac{π}{2} + kπ$ ，它的极值点是 $t = kπ$ 。

相位：把区间平移、伸缩

$t = ω x + φ$ 叫相位。 $ω > 0$ 时， $x$ 变大 $t$ 也变大，不同的 $x$ 对应不同的 $t$ ，所以 $x$ 的区间里有几个点， $t$ 的区间里就有几个点。例如 $y = sin 2 x$ ， $x \in [0, π]$ 时 $t = 2 x \in [0, 2 π]$ ，里面的零点是 $t = 0, π, 2 π$ ，共 $3$ 个，对应 $x = 0, \frac{π}{2}, π$ 。

用两个相邻的点夹参数

把点从左到右排好。“恰有 $n$ 个”的意思是：第 $n$ 个点在区间内，第 $n + 1$ 个点不在区间内。闭端点上的点算在内，开端点上的点不算，所以夹出来的不等式哪边带等号，要看区间的端点是开还是闭。

不能只看区间长度

相邻零点的相位差是 $π$ ，但进入的第一个点取决于起始相位。同样走过长度 $2 π$ ： $t$ 从 $0$ 走到 $2 π$ 有 $3$ 个零点，从 $\frac{π}{3}$ 走到 $\frac{7 π}{3}$ 只有 $π, 2 π$ 这 $2$ 个。所以一定要写出 $t$ 的起点和终点。

先看一道例题

例 1：区间右端是参数

函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0, m]$ （ $m > 0$ ）上恰有 $3$ 个零点，求 $m$ 的范围。

怎么看出来：

频率和起始相位都已知，只有区间终点在变，直接写相位区间，用第 $3$ 个和第 $4$ 个零点夹。

解：

$t = 2 x + \frac{π}{6}$ 从 $\frac{π}{6}$ 走到 $2 m + \frac{π}{6}$ 。比 $\frac{π}{6}$ 大的零点依次是 $π, 2 π, 3 π, 4 π, \dots$ 。恰有 $3$ 个，就是 $3 π$ 在内、 $4 π$ 不在内： $3 π \leq 2 m + \frac{π}{6} < 4 π$ 。减去 $\frac{π}{6}$ 得 $\frac{17 π}{6} \leq 2 m < \frac{23 π}{6}$ ，再除以 $2$ 。检查： $m = \frac{17 π}{12}$ 时终点正好是 $3 π$ ，闭端点算在内，有 $3$ 个； $m = \frac{23 π}{12}$ 时终点是 $4 π$ ，有 $4$ 个，不能取。

答案：

$\frac{17 π}{12} \leq m < \frac{23 π}{12}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
“恰有 $n$ 个零点”，函数形如 $sin (ω x + φ)$	写出 $t$ 的起点和终点，用第 $n$ 个和第 $n + 1$ 个点夹
区间端点是参数，频率已知	同样把端点写进相位区间，夹出来的是端点的范围
有几列不同的点要一起数，如零点和极值点，或两种频率的零点	按大小排进一队，从起始相位往后数，重合的只算 $1$ 个（见进阶“几列点合并数”）
方程里只有 $sin x$ 或只有 $cos x$ ，如 $sin^{2} x - sin x = b$	设 $t$ ，列出每个 $t$ 对应几个 $x$ （见进阶“化成 t 再数”）
还给了对称轴或交点间距的条件	把它也写到相位上，再和计数范围合起来（见进阶“附加条件”）
三角函数和多项式相等	先限范围，用导数看差函数的增减来证根数，切点也要查（见进阶“和别的曲线相交”）

三、怎么用

写相位区间。例如 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 在 $[0, m]$ （ $m > 0$ ）上恰有 $2$ 个零点， $t = x + \frac{π}{3}$ 从 $\frac{π}{3}$ 走到 $m + \frac{π}{3}$ ，两端都能取到。
按顺序列出区间起点之后的点。比 $\frac{π}{3}$ 大的零点依次是 $π, 2 π, 3 π, \dots$ 。
第 $n$ 个点进来，第 $n + 1$ 个点不进来。第 $2$ 个是 $2 π$ ，第 $3$ 个是 $3 π$ ，所以 $2 π \leq m + \frac{π}{3} < 3 π$ 。
解出参数，再查两个端点。得 $\frac{5 π}{3} \leq m < \frac{8 π}{3}$ 。 $m = \frac{5 π}{3}$ 时终点正好是 $2 π$ ，闭端点算在内，有 $2$ 个； $m = \frac{8 π}{3}$ 时终点是 $3 π$ ，已有 $3$ 个，所以不能取。

四、再做一道

例 2：区间跨过原点

$ω > 0$ ，函数 $y = cos ω x$ 在 $[- π, π]$ 上恰有 $4$ 个零点，求 $ω$ 的范围。

怎么看出来：

$t = ω x$ 的区间是 $[- ωπ, ωπ]$ ，关于 $0$ 对称，零点左右成对，只数正半边就够了。

解：

$cos t$ 的零点是 $t = \frac{π}{2} + kπ$ ， $t = 0$ 不是零点，并且 $cos (- t) = cos t$ ，所以正负两边的零点个数相同。恰有 $4$ 个，就是 $(0, ωπ]$ 内恰有 $2$ 个。正的零点依次是 $\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}, \dots$ ，所以 $\frac{3 π}{2} \leq ωπ < \frac{5 π}{2}$ ，除以 $π$ 得 $\frac{3}{2} \leq ω < \frac{5}{2}$ 。检查： $ω = \frac{3}{2}$ 时 $t$ 的终点是 $\frac{3 π}{2}$ ，零点 $x = \pm \frac{π}{3}, \pm π$ ，共 $4$ 个； $ω = \frac{5}{2}$ 时终点是 $\frac{5 π}{2}$ ，有 $6$ 个，不能取。

答案：

$\frac{3}{2} \leq ω < \frac{5}{2}$ 。

五、容易错在哪

只用区间长度除以半周期来估个数，没有写起始相位，常常差 $1$ 个。
开区间的端点不算，闭区间的端点要算。两端都是闭的时候，两端可能同时是零点，多出 $1$ 个。
化成 $t = sin x$ 后， $t = \pm 1$ 在 $[0, 2 π)$ 内只对应 $1$ 个 $x$ ，不是 $2$ 个。
$ω$ 的符号影响方向。本卡的做法要求 $ω > 0$ ； $ω < 0$ 时先用 $sin (- t) = - sin t$ 把它变成正的。
和非三角曲线相交时，不能默认每个半波都有 $2$ 个根，要算符号并证明最多几个。

进阶：几列点合并数

零点和极值点排成一队

$sin t$ 的极值点和零点交替出现，相邻两点的相位差是 $\frac{π}{2}$ ： $\frac{π}{2}$ （极值）、 $π$ （零）、 $\frac{3 π}{2}$ （极值）、 $2 π$ （零）……两种点同时有个数要求时，把它们排进同一队，从起始相位往后依次数。不同频率的两列零点也是这样合并：按大小排进一队，位置重合的点只算 $1$ 个。

例 3：两种频率的零点合并

$m > 0$ ，函数 $f (x) = sin 2 x sin 3 x$ 在 $(0, m]$ 上恰有 $5$ 个不同的零点，求 $m$ 的范围。

怎么看出来：

乘积的零点是两列点的并： $sin 2 x$ 的零点和 $sin 3 x$ 的零点。它们有重合，不能把个数直接相加。

解：

$sin 2 x = 0$ 即 $x = \frac{kπ}{2}$ ， $sin 3 x = 0$ 即 $x = \frac{jπ}{3}$ （ $k, j$ 是整数）。把正的点按大小排队： $\frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, π, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}, \dots$ 。其中 $π$ 同时属于两列，只算 $1$ 个。第 $5$ 个是 $\frac{4 π}{3}$ ，第 $6$ 个是 $\frac{3 π}{2}$ 。右端闭，所以 $\frac{4 π}{3} \leq m < \frac{3 π}{2}$ 。检查： $m = \frac{4 π}{3}$ 时 $sin 3 m = 0$ ，这个点算在内，共 $5$ 个； $m = \frac{3 π}{2}$ 时已有 $6$ 个，不能取。

答案：

$\frac{4 π}{3} \leq m < \frac{3 π}{2}$ 。

进阶：化成 t 再数

化成 $t = sin x$ 再数：每个 $t$ 对应几个 $x$

方程能写成 $sin x$ 的代数式时，设 $t = sin x$ ，先解 $t$ 。在 $[0, 2 π)$ 内， $- 1 < t < 1$ 对应 $2$ 个 $x$ ， $t = \pm 1$ 对应 $1$ 个 $x$ ， $∣ t ∣ > 1$ 没有 $x$ 。 $x$ 的范围变了，这张表也要变：在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 内解 $cos x = t$ ， $0 \leq t < 1$ 对应 $2$ 个 $x$ （如 $t = \frac{1}{2}$ 时 $x = \pm \frac{π}{3}$ ， $t = 0$ 时 $x = \pm \frac{π}{2}$ ）， $t = 1$ 只对应 $x = 0$ ， $t < 0$ 没有 $x$ 。区间较长时按周期累计：每个周期 $2 π$ 内根数相同时， $[0, 20 π)$ 含 $10$ 个周期，根数乘 $10$ 。开区间或不是整周期时，两端要单独查。

例 4：根的个数随参数变化

讨论方程 $sin^{2} x - sin x = b$ 在 $[0, 2 π)$ 内不同实根的个数。

怎么看出来：

只含 $sin x$ ，设 $t = sin x$ ，先看 $t$ 有几个、落在哪里，再按每个 $t$ 对应几个 $x$ 相加。

解：

设 $t = sin x$ ， $g (t) = t^{2} - t = (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ ， $t \in [- 1, 1]$ 。 $g$ 在 $[- 1, \frac{1}{2}]$ 上从 $2$ 减到 $- \frac{1}{4}$ ，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上从 $- \frac{1}{4}$ 增到 $0$ ，并且 $g (0) = 0$ 。按 $b$ 的位置分： $b < - \frac{1}{4}$ 或 $b > 2$ 时没有 $t$ ， $0$ 个根。 $b = - \frac{1}{4}$ 时 $t = \frac{1}{2}$ ， $2$ 个根。 $- \frac{1}{4} < b < 0$ 时两个 $t$ 都在 $(0, 1)$ 内， $4$ 个根。 $b = 0$ 时 $t = 0$ 给 $x = 0, π$ ， $t = 1$ 给 $x = \frac{π}{2}$ ，共 $3$ 个根。 $0 < b < 2$ 时 $[- 1, 1]$ 内只有一个 $t$ ，它在 $(- 1, 0)$ 内（另一个根大于 $1$ ，舍去）， $2$ 个根。 $b = 2$ 时 $t = - 1$ （另一个根 $t = 2$ 舍去）， $x = \frac{3 π}{2}$ ， $1$ 个根。

答案：

$b < - \frac{1}{4}$ 或 $b > 2$ ： $0$ 个； $b = 2$ ： $1$ 个； $b = - \frac{1}{4}$ 或 $0 < b < 2$ ： $2$ 个； $b = 0$ ： $3$ 个； $- \frac{1}{4} < b < 0$ ： $4$ 个。

进阶：附加条件

根之间的距离

$0 < c < 1$ 时，设 $θ$ 是 $(0, \frac{π}{2})$ 内满足 $sin θ = c$ 的角， $sin t = c$ 的正根依次是 $θ, π - θ, 2 π + θ, 3 π - θ, \dots$ 。相邻间距交替为 $π - 2 θ$ 和 $π + 2 θ$ ，并不相等。例如 $θ = \frac{π}{6}$ 时，间距依次是 $\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ 。 $x$ 轴上的间距是相位间距除以 $ω$ ，所以间距的比值不受 $ω$ 影响。

对称轴也落在相位上

$sin (π - t) = sin t$ ，所以 $sin t$ 的图象关于 $t = \frac{π}{2}$ 对称；再按周期 $2 π$ 和奇函数的性质，全部对称轴是 $t = \frac{π}{2} + kπ$ ，也就是极值点的位置。 $x = b$ 是 $y = sin (ω x + φ)$ 的对称轴，就是 $ωb + φ = \frac{π}{2} + kπ$ 。 $b \neq = 0$ 时，这会给 $ω$ 一串离散的值，再和计数的范围取交集； $b = 0$ 时条件和 $ω$ 无关，比如 $cos ω x$ 对所有 $ω > 0$ 都以 $x = 0$ 为对称轴。

例 5：对称轴和零点个数同时给

$ω > 0$ ， $f (x) = sin ω x$ 的图象以直线 $x = \frac{π}{3}$ 为对称轴，并且 $f$ 在 $[0, π]$ 上恰有 $5$ 个零点。求 $ω$ 。

怎么看出来：

对称轴给一串离散的 $ω$ ，零点个数给一段范围，取交集。

解：

对称轴条件： $ω \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + kπ$ ，即 $ω = \frac{3}{2} + 3 k$ ， $ω > 0$ 时 $k$ 取非负整数， $ω = \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{15}{2}, \dots$ 。零点是 $x = \frac{jπ}{ω}$ （ $j = 0, 1, 2, \dots$ ）。 $[0, π]$ 上恰有 $5$ 个，就是 $j = 4$ 在内、 $j = 5$ 不在内： $\frac{4 π}{ω} \leq π < \frac{5 π}{ω}$ ，所以 $4 \leq ω < 5$ 。只有 $ω = \frac{9}{2}$ 符合。检查： $sin (\frac{9}{2} \cdot \frac{π}{3}) = sin \frac{3 π}{2} = - 1$ ， $x = \frac{π}{3}$ 确实是最低点；零点 $0, \frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9}, \frac{6 π}{9}, \frac{8 π}{9}$ 共 $5$ 个，下一个 $\frac{10 π}{9}$ 超出区间。

答案：

$ω = \frac{9}{2}$ 。

进阶：和别的曲线相交 · 先修：导数

和别的曲线相交：要证根数，也要留意切点

$sin π x$ 和一条非三角曲线相交时，不能看图说“每个半波两个根”。先由 $∣ sin π x ∣ \leq 1$ 限定 $x$ 的范围；再在每个半波（相邻两个零点之间的一段）上设差函数 $g$ ，用导数看 $g$ 的增减： $g^{'}$ （ $g$ 的导数）递减时， $g$ 不一定先增后减，也可能始终单调，要确认 $g^{'}$ 由正变负才能这样说；不管哪种情况，这一段上最多有 $2$ 个根；再代几个点看符号，符号相反的两点之间有根（ $g$ 的图象不断开）。两条曲线可能相切，差函数在切点处不变号，这时代点看符号找不到这个根，要单独检查。

例 6：有切点的交点

求方程 $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{4}$ 的实根个数。

怎么看出来：

两边都是偶函数， $x = 0$ 是根，而且两条曲线在那里相切。差函数的增减要用导数看清楚，不能按半波累计。

解：

设 $h (x) = cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{4}$ ， $h$ 是偶函数， $h (0) = 0$ 。下面看 $x > 0$ 。 $h^{'} (x) = \frac{x}{2} - sin x$ ，记 $k (x) = h^{'} (x)$ ， $k^{'} (x) = \frac{1}{2} - cos x$ 。在 $(0, \frac{π}{3})$ 上 $cos x > \frac{1}{2}$ ， $k$ 递减， $k (0) = 0$ ，所以 $k < 0$ 。在 $(\frac{π}{3}, 2]$ 上 $cos x < \frac{1}{2}$ （因为 $2 < \frac{5 π}{3}$ ），所以 $k$ 在 $[\frac{π}{3}, 2]$ 上严格递增，并且 $k (2) = 1 - sin 2 > 0$ 。 $x \geq 2$ 时 $\frac{x}{2} \geq 1 \geq sin x$ ， $x = 2$ 时 $k > 0$ ， $x > 2$ 时 $\frac{x}{2} > 1$ ，所以 $k > 0$ 。因此 $k$ 只有 $1$ 个正零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 2$ ： $h$ 在 $(0, x_{0})$ 上递减，在 $(x_{0}, + \infty)$ 上递增。 $h (0) = 0$ ，所以 $h (x_{0}) < 0$ ；又 $h (π) = \frac{π ^{2}}{4} - 2 > 0$ 。于是 $x > 0$ 时恰有 $1$ 个根。负半轴由偶函数也有 $1$ 个，再加 $x = 0$ 。

答案：

$3$ 个。

真题

按这个方法练 · 12 题

收起并返回方法目录

只含一个三角函数：先求它的范围，再当代数式做

把 $sin x$ 或 $cos x$ 设成 $t$ ，先根据 $x$ 的范围求出 $t$ 的范围，然后就是 $t$ 的代数题。答案要落在这个范围内。

完整讲解 · 例题 · 可练 37 题

一、是什么

单位圆： $sin x$ 、 $cos x$ 和弧度

画一个圆心在原点、半径为 $1$ 的圆。点从 $(1, 0)$ 出发沿圆转动角 $x$ ： $x$ 为正时逆时针转，为负时顺时针转。落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ 。角常用弧度表示， $π$ 就是 $18 0^{\circ}$ ，所以 $\frac{π}{2}$ 是 $9 0^{\circ}$ ， $\frac{π}{6}$ 是 $3 0^{\circ}$ 。转到四个轴上的点： $x = 0$ 到 $(1, 0)$ ， $x = \frac{π}{2}$ 到 $(0, 1)$ ， $x = π$ 到 $(- 1, 0)$ ， $x = - \frac{π}{2}$ 到 $(0, - 1)$ （ $\frac{3 π}{2}$ 也到这里）。所以 $cos 0 = 1, sin 0 = 0$ ； $cos \frac{π}{2} = 0, sin \frac{π}{2} = 1$ ； $cos π = - 1, sin π = 0$ ； $cos (- \frac{π}{2}) = 0, sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ 。点转遍全圆时， $sin x$ 和 $cos x$ 都取遍 $[- 1, 1]$ ，不会超出这个范围。

特殊角怎么算

从落点向横轴作垂线，得到斜边为 $1$ 的直角三角形。 $3 0^{\circ}$ 所对的直角边是斜边的一半，所以 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ；由勾股定理， $cos \frac{π}{6} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ 。 $6 0^{\circ}$ 时两条直角边对调： $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}, sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ 。 $4 5^{\circ}$ 时两条直角边相等，由 $a^{2} + a^{2} = 1$ 得 $a = \frac{2}{2}$ ，所以 $sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ 。

用对称算其他角，并反求角

其他角用圆的对称。 $π - x$ 的落点与 $x$ 的落点关于纵轴对称，横坐标变号、纵坐标不变： $\frac{2 π}{3} = π - \frac{π}{3}$ ，所以 $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}, sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ ； $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ ，所以 $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ 。 $- x$ 的落点与 $x$ 的落点关于横轴对称，纵坐标变号： $sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ 。反过来求角也看图： $[0, 2 π)$ 内纵坐标为 $\frac{1}{2}$ 的点有 $2$ 个，所以 $sin x = \frac{1}{2}$ 时 $x = \frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x$ 受限时，范围要重新求

设 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 。点从 $\frac{π}{6}$ 转到 $\frac{2 π}{3}$ ，中途经过最高点 $\frac{π}{2}$ 。 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{2} = 1$ ， $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ ，所以 $sin x$ 的范围是 $[\frac{1}{2}, 1]$ 。只代两个端点会得到 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ ，这是错的。最高点 $x = \frac{π}{2}$ 和最低点 $x = \frac{3 π}{2}$ （以及它们加减 $2 π$ 的角）在区间内时， $sin x$ 就能取到 $1$ 和 $- 1$ 。

分母的限制也要带上

$y = \frac{1}{1 + sin x}$ 要求 $sin x \neq = - 1$ ，所以 $t \in (- 1, 1]$ 。此时 $1 + t \in (0, 2]$ ， $y \geq \frac{1}{2}$ ， $t = 1$ 时取到 $\frac{1}{2}$ ； $t$ 接近 $- 1$ 时 $y$ 可以任意大，所以 $y$ 没有最大值。

一个 $t$ 对应几个 $x$

求方程的根数时，要算每个 $t$ 对应几个 $x$ 。在 $[0, 2 π)$ 内， $sin x = t$ ： $∣ t ∣ < 1$ 时有 $2$ 个 $x$ ， $t = 1$ 或 $t = - 1$ 时只有 $1$ 个 $x$ ， $∣ t ∣ > 1$ 时没有。例如 $sin x = \frac{1}{2}$ 有 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ ，而 $sin x = 1$ 只有 $x = \frac{π}{2}$ 。解代数方程 $(2 t - 1) (t - 2) = 0$ 时， $t = 2$ 超出 $[- 1, 1]$ ，要舍去。

先看一道例题

例 1：限定区间的最值

$x \in [\frac{π}{3}, π]$ ，求 $y = cos^{2} x + cos x - 1$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

只含 $cos x$ ，且 $x$ 受限，先求 $cos x$ 的范围。

解：

设 $t = cos x$ 。 $x$ 从 $\frac{π}{3}$ 增大到 $π$ 时，点从右上方沿圆转到最左点，横坐标一直减小，所以 $t$ 从 $\frac{1}{2}$ 减到 $- 1$ ， $t \in [- 1, \frac{1}{2}]$ 。 $y = t^{2} + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}$ 。顶点 $t = - \frac{1}{2}$ 在范围内， $y = - \frac{5}{4}$ ，对应 $x = \frac{2 π}{3}$ 。端点： $t = - 1$ 时 $y = - 1$ ； $t = \frac{1}{2}$ 时 $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{4}$ ，对应 $x = \frac{π}{3}$ 。比较得最大值 $- \frac{1}{4}$ 。

答案：

最大值 $- \frac{1}{4}$ ，最小值 $- \frac{5}{4}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
式子里只有 $sin x$ （或只有 $cos x$ ），如 $cos^{2} x + cos x - 1$	设 $t$ ，先写 $t$ 的范围
给了 $x$ 的区间，如 $x \in [\frac{π}{3}, π]$	先看区间内是否经过最高点、最低点，再写 $t$ 的范围
问方程在某区间内有几个根	先解 $t$ ，舍去范围外的值，再数每个 $t$ 对应几个 $x$
分式，如 $\frac{sin x}{sin ^{2} x + 4}$	设 $t$ ，作差比较（见进阶“有理式的值域”）
含 $cos 2 x$ ，或同时含 $sin x + cos x$ 和 $sin x cos x$	先化成一个变量（见进阶“化成一个变量”）
$tan x + cot x$ ，或 $arcsin x$ 、 $arccos x$	$tan x$ 设元并写范围；反三角先写定义域，再用单调性（见进阶“正切与反三角”）
两个角有大小关系，如 $0 < x < y < \frac{π}{3}$	分别设元并保留大小关系（见进阶“两个角”）

三、怎么用

设 $t$ ，求 $t$ 的准确范围。例如 $y = sin^{2} x - sin x$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， $sin x$ 从 $0$ 增大到 $1$ ，所以 $t \in [0, 1]$ 。
把式子写成 $t$ 的代数式，并配方或作差。这里 $y = t^{2} - t = (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ 。
判断顶点是否在 $t$ 的范围内，再比较端点。 $t = \frac{1}{2}$ 在 $[0, 1]$ 内， $y = - \frac{1}{4}$ ；端点 $t = 0$ 和 $t = 1$ 都得 $y = 0$ 。
写出取到最值的 $x$ ，确认 $x$ 在给定范围内。 $y = - \frac{1}{4}$ 时 $sin x = \frac{1}{2}$ ， $x = \frac{π}{6}$ ； $y = 0$ 时 $x = 0$ 或 $x = \frac{π}{2}$ 。所以最小值 $- \frac{1}{4}$ ，最大值 $0$ 。

四、再做一道

例 2：数方程的根

求方程 $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0$ 在 $[0, 2 π)$ 内的根。

怎么看出来：

方程只含 $sin x$ 。解出 $t$ 后，每个 $t$ 对应的 $x$ 个数可能不同。

解：

设 $t = sin x$ ， $t \in [- 1, 1]$ 。 $2 t^{2} + t - 1 = (2 t - 1) (t + 1) = 0$ ，所以 $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = - 1$ ，都在范围内。 $t = \frac{1}{2}$ 是范围内部的值，有 $2$ 个 $x$ ： $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ 。 $t = - 1$ 是端点，只有 $1$ 个 $x$ ： $\frac{3 π}{2}$ 。检查： $x = \frac{3 π}{2}$ 时 $2 - 1 - 1 = 0$ ； $x = \frac{π}{6}$ 时 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ 。

答案：

$3$ 个根： $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ 。

五、容易错在哪

$x$ 受限时不能直接写 $t \in [- 1, 1]$ 。要看 $x$ 的区间经过哪些位置，也不能只代两个端点。
配方后的顶点不在 $t$ 的范围内时，最值不在顶点，要比较端点。
代数方程有几个根，不等于原方程有几个根。要舍去范围外的 $t$ ，再数每个 $t$ 对应的 $x$ 。
$sin x = \pm 1$ 在一个周期内只有 $1$ 个 $x$ ，范围内部的值才有 $2$ 个。
写值域时只证明上下界不够，还要说明范围内的值都能取到。

进阶：有理式的值域 · 先修：连续变化的直观

有理式：作差比较

$y = \frac{t}{t ^{2} + 4}$ ， $t \in [- 1, 1]$ 。不用求导，作差就能证界： $\frac{1}{5} - \frac{t}{t ^{2} + 4} = \frac{( t - 1 ) ( t - 4 )}{5 ( t ^{2} + 4 )}$ 。 $t \leq 1$ 时两个因子都不为正，乘积不小于 $0$ ，分母为正，所以 $y \leq \frac{1}{5}$ ， $t = 1$ 时取等号。

说明中间的值都取得到

要写“值域是 $[m, M]$ ”，光有 $m \leq y \leq M$ 不够，还要说明每个中间值都能取到。一种办法： $y$ 随 $x$ 连续变化（图像不断开），当 $x$ 从取到 $m$ 的位置变到取到 $M$ 的位置时， $y$ 经过 $m, M$ 之间的所有值。另一种办法：对每个值直接写出 $x$ 。

例 3：有理式的值域

求 $y = \frac{sin x}{sin ^{2} x + 4}$ 的值域。

怎么看出来：

设 $t = sin x$ 后是分式，分母恒正，作差看因子的符号。

解：

$t \in [- 1, 1]$ 。上界： $\frac{1}{5} - y = \frac{t ^{2} - 5 t + 4}{5 ( t ^{2} + 4 )} = \frac{( t - 1 ) ( t - 4 )}{5 ( t ^{2} + 4 )}$ 。 $t \leq 1$ 时 $t - 1 \leq 0, t - 4 < 0$ ，乘积不小于 $0$ ，所以 $y \leq \frac{1}{5}$ ， $t = 1$ 时取等号。下界： $y + \frac{1}{5} = \frac{t ^{2} + 5 t + 4}{5 ( t ^{2} + 4 )} = \frac{( t + 1 ) ( t + 4 )}{5 ( t ^{2} + 4 )}$ 。 $t \geq - 1$ 时乘积不小于 $0$ ，所以 $y \geq - \frac{1}{5}$ ， $t = - 1$ 时取等号。 $y$ 随 $x$ 连续变化， $x$ 从 $- \frac{π}{2}$ 变到 $\frac{π}{2}$ 时， $y$ 从 $- \frac{1}{5}$ 变到 $\frac{1}{5}$ ，中间的值都能取到。

答案：

$[- \frac{1}{5}, \frac{1}{5}]$ 。

进阶：化成一个变量 · 先修：辅助角公式

$sin x + cos x$ 整体设元

式子同时含 $sin x + cos x$ 和 $sin x cos x$ 时，设 $u = sin x + cos x$ 。两边平方： $u^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ ，所以 $sin x cos x = \frac{u ^{2} - 1}{2}$ 。又 $u = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ ， $x$ 取全体实数时 $u \in [- 2, 2]$ ； $x$ 受限时，要先求 $x + \frac{π}{4}$ 的范围。

倍角先化成一个函数

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ 。式子含 $cos 2 x$ 和 $sin x$ 时用前一个，含 $cos 2 x$ 和 $cos x$ 时用后一个。例如 $cos 2 x + 2 sin x = 1 - 2 t^{2} + 2 t$ ，其中 $t = sin x$ 。

例 4：和与积同时出现

求 $y = sin x cos x + sin x + cos x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

和与积同时出现，平方关系可以把积写成和。

解：

设 $u = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ ， $u \in [- 2, 2]$ ， $sin x cos x = \frac{u ^{2} - 1}{2}$ 。 $y = \frac{u ^{2} - 1}{2} + u = \frac{( u + 1 ) ^{2}}{2} - 1$ 。顶点 $u = - 1$ 在范围内， $y = - 1$ 。例如 $x = π$ 时 $u = - 1$ ， $y = 0 + 0 - 1 = - 1$ 。 $(u + 1)^{2}$ 在范围内最大时 $u = 2$ ，此时 $y = \frac{2 - 1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + 2$ ，对应 $x = \frac{π}{4}$ 。

答案：

最大值 $\frac{1}{2} + 2$ ，最小值 $- 1$ 。

例 5：倍角化成正弦

求 $y = cos 2 x + 2 sin x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

有 $cos 2 x$ 和 $sin x$ ，所以用 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ 。

解：

设 $t = sin x \in [- 1, 1]$ 。 $y = 1 - 2 t^{2} + 2 t = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}$ 。顶点 $t = \frac{1}{2}$ 在范围内，最大值 $\frac{3}{2}$ ，对应 $x = \frac{π}{6}$ 。开口向下，最小值在离顶点较远的端点 $t = - 1$ ， $y = 1 - 2 - 2 = - 3$ ，对应 $x = - \frac{π}{2}$ 。另一端点 $t = 1$ 时 $y = 1$ ，比 $- 3$ 大。

答案：

最大值 $\frac{3}{2}$ ，最小值 $- 3$ 。

进阶：两个角

两个角分别换元

两个角有大小关系时，要把关系也翻译过来。 $0 < x < y < \frac{π}{3}$ 时， $cos$ 在这一段递减，所以设 $u = cos x, v = cos y$ ，有 $\frac{1}{2} < v < u < 1$ 。求准确范围时，先证上下界，再对每个目标值写出 $u, v$ ，确认它们满足这个关系。

例 6：两个角的准确范围

$0 < x < y < \frac{π}{3}$ ，求 $Q = cos^{2} x - cos^{2} y$ 的取值范围。

怎么看出来：

两个角各设一个变量，大小关系变成 $u > v$ 。先证界，再对每个值写出 $u, v$ 。

解：

设 $u = cos x, v = cos y$ ，则 $\frac{1}{2} < v < u < 1$ 。 $Q = u^{2} - v^{2} > 0$ ；又 $u^{2} < 1, v^{2} > \frac{1}{4}$ ，所以 $Q < \frac{3}{4}$ 。下面说明 $(0, \frac{3}{4})$ 中每个值 $c$ 都能取到：取 $u^{2} = \frac{5}{8} + \frac{c}{2}, v^{2} = \frac{5}{8} - \frac{c}{2}$ 。则 $u^{2} - v^{2} = c$ ；由 $c < \frac{3}{4}$ 得 $u^{2} < 1, v^{2} > \frac{1}{4}$ ；由 $c > 0$ 得 $u > v$ 。 $cos$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上取遍 $(\frac{1}{2}, 1)$ ，所以有对应的 $x, y$ ，且 $u > v$ 给出 $x < y$ 。

答案：

$(0, \frac{3}{4})$ 。

进阶：正切与反三角

$tan x$ 也能换元

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ ， $cot x = \frac{1}{tan x}$ 。在 $(0, \frac{π}{2})$ 内 $tan x$ 递增且为正。设 $t = tan x$ ，则 $tan x + cot x = t + \frac{1}{t}$ 。因为 $t > 0$ ， $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t} \geq 0$ ，所以它不小于 $2$ ， $t = 1$ 时取等号。若 $x \in (0, \frac{π}{4}]$ ，则 $t \in (0, 1]$ ， $t = 1$ 正好在范围内。范围不含 $1$ 时要改看增减： $0 < t < s \leq 1$ 时， $(t + \frac{1}{t}) - (s + \frac{1}{s}) = \frac{( s - t ) ( 1 - t s )}{t s} > 0$ ，所以在 $(0, 1]$ 上递减。

$arcsin$ 和 $arccos$

$arcsin x$ 是 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 内正弦等于 $x$ 的那个角， $arccos x$ 是 $[0, π]$ 内余弦等于 $x$ 的那个角。所以 $x$ 必须在 $[- 1, 1]$ 内。 $arcsin x$ 随 $x$ 增大而增大， $arccos x$ 随 $x$ 增大而减小。例如解 $arccos x < \frac{π}{4}$ ： $arccos \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ ，因为递减，不等式变为 $x > \frac{2}{2}$ ，再和定义域取交集，得 $\frac{2}{2} < x \leq 1$ 。

进阶：三次式 · 先修：导数、二倍角公式

三次式用导数

$t$ 的三次式在闭区间上的最值，只可能在端点或导数为零的点取到。把这些点的值都算出来再比较。导数的零点只有落在区间内才算。

例 7：端点比导数零点更大

求 $y = sin x cos 2 x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

用 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ 化成 $t$ 的三次式，闭区间上比较端点和导数零点。

解：

设 $t = sin x \in [- 1, 1]$ ， $y = g (t) = t - 2 t^{3}$ 。 $g^{'} (t) = 1 - 6 t^{2}$ ，零点 $t = \pm \frac{1}{6}$ ，都在区间内。 $g (\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{6}{9} \approx 0.27$ ， $g (- \frac{1}{6}) = - \frac{6}{9}$ 。端点 $g (- 1) = - 1 + 2 = 1$ ， $g (1) = 1 - 2 = - 1$ 。比较这四个值。

答案：

最大值 $1$ （ $sin x = - 1$ ），最小值 $- 1$ （ $sin x = 1$ ）。

进阶：含参数的根数

例 8：含参数：恰有两个根

方程 $sin^{2} x - 2 sin x = a$ 在 $[0, 2 π)$ 内恰有 $2$ 个不同的根，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

参数已经单独在一边。看 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 在 $[- 1, 1]$ 上的变化，再数 $x$ 。

解：

$g (t) = (t - 1)^{2} - 1$ 。 $t \in [- 1, 1]$ 时 $t - 1 \leq 0$ ， $t$ 增大时 $(t - 1)^{2}$ 减小，所以 $g$ 严格递减，从 $g (- 1) = 3$ 减到 $g (1) = - 1$ 。所以每个 $a \in [- 1, 3]$ 恰好对应一个 $t$ ，范围外的 $a$ 没有 $t$ ，方程无根。当 $a = 3$ 时 $t = - 1$ ，只有 $1$ 个 $x$ ；当 $a = - 1$ 时 $t = 1$ ，只有 $1$ 个 $x$ ；当 $- 1 < a < 3$ 时 $- 1 < t < 1$ ，有 $2$ 个 $x$ 。

答案：

$- 1 < a < 3$ 。

真题

按这个方法练 · 37 题

收起并返回方法目录

方程的根成对出现：用对称算根的个数奇偶和根的和

如果 $f (c - x) = f (x)$ ，那么 $x$ 是 $f (x) = a$ 的根时， $c - x$ 也是根。只要区间关于 $\frac{c}{2}$ 对称，根就成对出现，每对的和都是 $c$ ，只有中点 $x = \frac{c}{2}$ 和自己配对。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

记号和反射

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $t$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos t$ ，纵坐标叫 $sin t$ 。关于纵轴翻折，角 $t$ 变成 $π - t$ ，纵坐标不变，所以 $sin (π - t) = sin t$ 。这叫反射： $x \mapsto π - x$ 不改变 $sin x$ 的值，只含 $sin x$ 的式子也都不变。常用值： $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边是斜边的一半，所以 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ，由反射 $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ ；又 $sin \frac{π}{2} = 1$ ， $sin 0 = sin π = 0$ 。例如 $f (x) = sin^{2} x - sin x$ ，有 $f (π - x) = f (x)$ 。

先核区间：反射要把区间变成自己

$x \mapsto π - x$ 把 $[0, π]$ 变成 $[0, π]$ ，所以这里的根能配对。把它用到 $[0, 2 π]$ 就不行： $x = \frac{3 π}{2}$ 变成 $- \frac{π}{2}$ ，已经跑出区间。全局有对称，不代表当前区间里成对。

配对后怎么算个数和总和

设 $f (c - x) = f (x)$ ，区间关于 $\frac{c}{2}$ 对称，方程 $f (x) = a$ 在区间内有有限个根。除 $x = \frac{c}{2}$ 外， $x$ 和 $c - x$ 是两个不同的根，所以：根数是奇数，当且仅当 $x = \frac{c}{2}$ 是根。每对的平均值是 $\frac{c}{2}$ ，中点本身也是 $\frac{c}{2}$ ，所以有 $n$ 个根时，总和是 $\frac{n c}{2}$ 。例如 $sin x = \frac{1}{2}$ 在 $[0, π]$ 上有 $2$ 个根 $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ ，总和 $π = \frac{2 \cdot π}{2}$ 。

先看一道例题

例 1：不解方程求根的和

方程 $sin^{2} x - sin x = a$ 在 $[0, π]$ 上恰有 $4$ 个不同的根，求这 $4$ 个根的和。

怎么看出来：

只含 $sin x$ ，区间是 $[0, π]$ ，根关于 $\frac{π}{2}$ 配对。求和不必解出 $a$ 。

解：

设 $f (x) = sin^{2} x - sin x$ ，则 $f (π - x) = f (x)$ ， $x \mapsto π - x$ 把 $[0, π]$ 变成自己。根数 $4$ 是偶数，所以中点 $\frac{π}{2}$ 不是根， $4$ 个根配成 $2$ 对，每对的和是 $π$ ，总和 $2 π$ 。检查这种情况确实存在：取 $a = - \frac{3}{16}$ ， $t = sin x$ 满足 $t^{2} - t + \frac{3}{16} = 0$ ， $t = \frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$ ，都在 $(0, 1)$ 内，每个 $t$ 在 $[0, π]$ 上对应 $2$ 个 $x$ ，正好 $4$ 个根。

答案：

$2 π$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
函数只含 $sin x$ ，区间是 $[0, π]$	用 $x \mapsto π - x$ 配对，中点是 $\frac{π}{2}$
问根的个数是奇数还是偶数	奇数个根，说明中点是根，或有端点没有伙伴
问若干个根的和或平均值	不必解出每个根，每对的和就是对称轴位置的 $2$ 倍
区间是半开的	单查端点（见进阶“半开区间和中心对称”）
跨好几个周期，起点不是标准位置	逐条分支列根，按基本根的位置分类（见进阶“跨周期的根”）

三、怎么用

写出保持函数值的反射。例如解 $sin x = \frac{1}{2}$ ， $x \in [0, π]$ ，反射是 $x \mapsto π - x$ 。
核区间。 $[0, π]$ 经反射还是 $[0, π]$ ，可以配对。
查中点和端点。中点 $x = \frac{π}{2}$ 处 $sin x = 1 \neq = \frac{1}{2}$ ，中点不是根；两端 $x = 0, π$ 处 $sin x = 0$ ，也不是根。
配对算个数或总和。这里 $\frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ 配成一对，共 $2$ 个根，和为 $π$ 。

四、再做一道

例 2：由奇数个根反求参数

方程 $2 sin^{2} x - 3 sin x = a$ 在 $[0, π]$ 上恰有 $3$ 个不同的根。求 $a$ ，并求这 $3$ 个根的和。

怎么看出来：

根数是奇数，根又关于 $\frac{π}{2}$ 配对，所以中点一定是根，由此直接算出 $a$ 。

解：

设 $f (x) = 2 sin^{2} x - 3 sin x$ ， $f (π - x) = f (x)$ ，区间 $[0, π]$ 关于 $\frac{π}{2}$ 对称。除中点外根都成对， $3$ 是奇数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 必须是根， $a = f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 = - 1$ 。还要代回检查：设 $t = sin x$ ， $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ ，即 $(2 t - 1) (t - 1) = 0$ ， $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = 1$ 。 $t = \frac{1}{2}$ 给 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ ， $t = 1$ 给 $x = \frac{π}{2}$ ，确实 $3$ 个。和为 $\frac{π}{6} + \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$ ，也等于 $\frac{3 \cdot π}{2}$ 。

答案：

$a = - 1$ ，根的和为 $\frac{3 π}{2}$ 。

五、容易错在哪

全局有对称，不等于当前区间内的根成对。先核反射是否把区间变成自己。
半开区间的端点没有伙伴，要单独算。
奇数个根只能说明“中点是根，或有端点落单”。由此算出参数后要代回，确认根数真的是题目要的那个数。
闭区间长度是整数个周期时，两端可能同时是根。这时要把两端都算上，不能按每个周期固定的根数相乘。
中心对称把 $f (x) = a$ 的根送到另一个方程的根， $a$ 不等于对称中心的纵坐标时，不能在同一个方程里配对。

进阶：半开区间和中心对称 · 先修：三角函数的诱导公式

半开区间：端点没有伙伴

区间 $(0, π]$ 关于 $\frac{π}{2}$ 不对称： $x = π$ 的伙伴 $x = 0$ 不在区间内。所以 $x = π$ 是根时，它单独多算 $1$ 个。例如 $sin x = 0$ 在 $(0, π]$ 上只有 $x = π$ 这 $1$ 个根，虽然中点 $\frac{π}{2}$ 不是根。遇到半开区间，先按闭区间配对，再单独处理多出或少掉的端点。

图象的对称轴和对称中心

$f (c - x) = f (x)$ 表示图象关于直线 $x = \frac{c}{2}$ 对称。 $f (2 p - x) = 2 q - f (x)$ 表示图象关于点 $(p, q)$ 中心对称。特别地，奇函数 $f (- x) = - f (x)$ 关于原点中心对称。中心对称把方程 $f (x) = a$ 的根送到 $f (x) = 2 q - a$ 的根，所以 $a \neq = q$ 时不能用它配对。

例 3：中心对称也能配对的情形

设 $f (x) = 1 + sin x cos 2 x$ 。证明 $f$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称，也关于点 $(π, 1)$ 中心对称，并求方程 $f (x) = 1$ 在 $[0, 2 π]$ 上所有根的和。

怎么看出来：

$a = 1$ 正好是对称中心的纵坐标，所以中心对称把这个方程的根送回它自己，可以用 $x \mapsto 2 π - x$ 配对。

解：

$sin (π - x) = sin x$ ， $cos (2 π - 2 x) = cos 2 x$ ，所以 $f (π - x) = f (x)$ ，关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称。 $sin (2 π - x) = - sin x$ ， $cos (4 π - 2 x) = cos 2 x$ ，所以 $f (2 π - x) = 1 - sin x cos 2 x = 2 \cdot 1 - f (x)$ ，关于 $(π, 1)$ 中心对称。解方程： $sin x cos 2 x = 0$ 。 $sin x = 0$ 给 $x = 0, π, 2 π$ ； $cos 2 x = 0$ 给 $x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ 。共 $7$ 个根。 $[0, 2 π]$ 关于 $π$ 对称，每对的和是 $2 π$ ，中点 $π$ 是根，所以总和是 $\frac{7 \cdot 2 π}{2} = 7 π$ 。直接相加也是 $3 π + 4 π$ 。

答案：

根的和为 $7 π$ 。

进阶：跨周期的根

跨几个周期：按根的位置分类

区间长度是周期的整数倍，但起点不在 $0$ 时，方程的根并不总能按一种方式配对。做法：设 $θ$ 是一个基本根，把各分支 $θ + 2 kπ$ 、 $π - θ + 2 kπ$ 逐条列出，看每条分支哪几个落在区间内。 $θ$ 相对起点的位置不同，进来的分支就不同。区间两端同时是根时，总数会多 $1$ 个，要单独算。

例 4：两个水平值的根并在一起

$c$ 是实数。方程 $(sin x - \frac{1}{2}) (sin x - c) = 0$ 在 $[0, 4 π]$ 上有多少个不同的根？所有根的和是多少？ $c$ 取不同值时分别写出。

怎么看出来：

根是两个方程的根合在一起。 $c = \frac{1}{2}$ 时两组完全重合； $c = 0$ 时 $sin x = c$ 在两个周期的两端都有根，要多算。

解：

$sin x = \frac{1}{2}$ 的根是 $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}$ ，和为 $6 π$ 。下面看 $sin x = c$ 。 $0 < c < 1$ ：设 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin θ = c$ ，根是 $θ, π - θ, 2 π + θ, 3 π - θ$ ，和 $6 π$ 。 $c = 1$ ：根 $\frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}$ ，和 $3 π$ 。 $c = 0$ ：根 $0, π, 2 π, 3 π, 4 π$ ，和 $10 π$ 。 $- 1 < c < 0$ ：设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin α = - c$ ，根是 $π + α, 2 π - α, 3 π + α, 4 π - α$ ，和 $10 π$ 。 $c = - 1$ ：根 $\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{2}$ ，和 $5 π$ 。 $∣ c ∣ > 1$ 时没有根。 $c \neq = \frac{1}{2}$ 时两组根不重合（一个 $x$ 的正弦只有一个值），个数和总和都相加。 $c = \frac{1}{2}$ 时只留一组。

答案：

$c = \frac{1}{2}$ 或 $∣ c ∣ > 1$ ： $4$ 个，和 $6 π$ ； $0 < c < 1$ 且 $c \neq = \frac{1}{2}$ ： $8$ 个，和 $12 π$ ； $c = 1$ ： $6$ 个，和 $9 π$ ； $c = 0$ ： $9$ 个，和 $16 π$ ； $- 1 < c < 0$ ： $8$ 个，和 $16 π$ ； $c = - 1$ ： $6$ 个，和 $11 π$ 。

真题

按这个方法练 · 3 题

收起并返回方法目录

求周期、判最小周期：验证平移成立，再排除更小的

$T$ 是周期，就要对定义域内所有 $x$ 都有 $f (x + T) = f (x)$ 。证明最小周期分两步：验证某个 $T$ 成立，再用零点或最高点说明更小的正数都不行。乘积可以靠两个因子同时变号保持不变，不要求每个因子各自不变。

完整讲解 · 例题 · 可练 15 题

一、是什么

记号和常用值

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，并规定 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （要求 $cos x \neq = 0$ ）。由勾股定理， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，这里 $sin^{2} x$ 表示 $(sin x)^{2}$ 。常用值： $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ，它们来自含 $3 0^{\circ}$ 或 $4 5^{\circ}$ 的直角三角形。转一整圈回到原处，所以 $sin (u + 2 π) = sin u$ ， $cos (u + 2 π) = cos u$ 。转半圈落点变成关于原点的对称点，所以 $sin (u + π) = - sin u$ ， $cos (u + π) = - cos u$ 。关于纵轴对称得 $sin (π - u) = sin u$ ， $cos (π - u) = - cos u$ 。例如 $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ ， $sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}$ 。

周期的定义和单个正弦

非零常数 $T$ 使 $f (x + T) = f (x)$ 对定义域内所有 $x$ 成立， $T$ 就叫周期，其中最小的正数（如果存在）叫最小正周期。单个点相等不算。 $sin (k x + φ)$ （ $k \neq = 0$ ）的最小正周期是 $\frac{2 π}{∣ k ∣}$ ，因为相位要走满 $2 π$ 。几个频率相加时，要逐个 $T$ 验证。例如 $f (x) = sin x + sin 2 x$ ： $T = 2 π$ 时两项都不变； $T = π$ 时 $f (\frac{π}{2}) = 1$ ， $f (\frac{3 π}{2}) = - 1$ ，不相等，所以 $π$ 不是周期。

乘积：符号可以相消

直接追踪每个因子。 $sin x cos x$ 中， $x$ 加 $π$ ，两个因子都变号，乘积不变，所以 $π$ 是周期，虽然它不是 $sin x$ 或 $cos x$ 各自的周期。

排除更小的周期：用零点或最高点

若 $T$ 是周期且 $f (0) = 0$ ，代入 $x = 0$ 得 $f (T) = 0$ ，所以 $T$ 必须是 $f$ 的零点。若 $f (0)$ 是最大值 $M$ ，则 $f (T) = M$ ， $T$ 必须是最大值点。先用这条缩小 $T$ 的可能值，再逐个否定。否定时只要找到一个 $x$ 使 $f (x + T) \neq = f (x)$ 。

周期的整数倍

$T$ 是周期时， $2 T, 3 T, \dots$ 都是周期，因为连续平移就回到原值。已知 $f (x + π) = - f (x)$ 时， $2 π$ 是周期。

先看一道例题

例 1：乘积的最小正周期

求 $f (x) = sin x sin 3 x$ 的最小正周期。

怎么看出来：

$x$ 加 $π$ ，两个因子都变号，乘积不变。再用零点排除更小的。

解：

$sin (x + π) = - sin x$ ， $sin (3 x + 3 π) = - sin 3 x$ ，所以 $f (x + π) = f (x)$ ， $π$ 是周期。下面排除更小的 $T$ 。 $f (0) = 0$ ，所以 $T$ 要使 $f (T) = 0$ ，即 $sin T = 0$ 或 $sin 3 T = 0$ ，而 $sin T = 0$ 时也有 $sin 3 T = 0$ ，所以 $3 T$ 是 $π$ 的整数倍。在 $(0, π)$ 内只有 $T = \frac{π}{3}$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。若 $\frac{2 π}{3}$ 是周期，则 $π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$ 也是周期，所以只要否定 $\frac{π}{3}$ 。取 $x = \frac{π}{6}$ ： $f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ ， $f (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (- 1) = - 1$ ，不相等。所以最小正周期是 $π$ 。

答案：

$π$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
问某个数是不是周期	代入 $x + T$ ，逐个因子追踪相位和符号
问最小正周期	先验证一个周期，再用零点或最大值点排除更小的
两个频率相加减，如 $cos \frac{x}{2} + cos \frac{x}{n}$	用 $x = 0$ 的最大值或系数比较，得出整除条件（见进阶“整数参数”）
函数是复合的，如 $cos (sin x)$	先用内层的值域和奇偶化简（见进阶“复合函数与窗口”）
数列的项由三角函数给出	相位循环，按余数分组（见进阶“复合函数与窗口”）

三、怎么用

追踪平移。例如 $f (x) = sin 2 x cos x$ ， $x$ 加 $π$ ： $sin (2 x + 2 π) = sin 2 x$ ， $cos (x + π) = - cos x$ ，所以 $f (x + π) = - f (x)$ 。
得到一个周期。再平移一次： $f (x + 2 π) = f (x)$ ，所以 $2 π$ 是周期。
缩小可能的 $T$ 。 $f (0) = 0$ ，所以 $T$ 必须是零点。 $sin 2 x = 0$ 给 $x = \frac{nπ}{2}$ （ $n$ 是整数）， $cos x = 0$ 给的点也都在其中，所以零点是 $\frac{nπ}{2}$ ，小于 $2 π$ 的正数里可能的 $T$ 是 $\frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ 。
逐个否定。 $T = π$ ： $f (x + π) = - f (x)$ ，而 $f$ 不恒为 $0$ 。 $T = \frac{π}{2}$ ： $f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4}$ ，不相等。 $T = \frac{3 π}{2}$ ：若成立，则因 $2 π$ 也是周期， $2 π - \frac{3 π}{2} = \frac{π}{2}$ 也是周期，矛盾。
下结论。最小正周期是 $2 π$ 。

四、再做一道

例 2：数列平方后周期变短

设 $x_{n} = sin \frac{nπ}{3}$ ， $y_{n} = x_{n}^{2}$ ， $n$ 取正整数。求最小的正整数 $p$ ，使 $y_{n + p} = y_{n}$ 对所有 $n$ 成立。

怎么看出来：

$x_{n}$ 的周期是 $6$ ，但加 $3$ 时只变号，平方后号就没了。

解：

$x_{n + 3} = sin (\frac{nπ}{3} + π) = - x_{n}$ ，所以 $y_{n + 3} = y_{n}$ ， $p = 3$ 可用。列出： $y_{1} = \frac{3}{4}, y_{2} = \frac{3}{4}, y_{3} = 0$ 。 $p = 1$ 不行，因为 $y_{2} \neq = y_{3}$ 。 $p = 2$ 不行，因为 $y_{1} \neq = y_{3}$ 。

答案：

$p = 3$ 。

五、容易错在哪

验证了某个 $T$ 是周期，不等于它是最小正周期，要另外排除更小的。
乘积的周期不要求每个因子各自是周期，两个因子同时变号也行。
一个初值的迭代或数列循环，不能说明函数本身有这个平移周期。
$cos (x^{2})$ 这样内层不是线性的函数，不一定有周期，不能套公式。
$T$ 必须对定义域内所有 $x$ 成立，只代入 $x = 0$ 只得到必要条件，最后要回头验证。

进阶：整数参数 · 先修：本卡基础部分，约数

乘积的符号和整数条件

$f (x) = sin a x cos b x$ ，若 $a T = mπ, b T = ℓ π$ （ $m, ℓ$ 是整数），平移 $T$ 后两个因子分别乘 $(- 1)^{m}$ 和 $(- 1)^{ℓ}$ 。 $m + ℓ$ 为偶数时乘积不变， $T$ 是周期。例如 $sin 2 x cos 4 x$ 取 $T = \frac{π}{2}$ ， $m = 1, ℓ = 2$ ，和为奇数，所以 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ 。这是判断 $T$ 成立的充分条件。要反过来说明其他情形不行，需要另外代入 $x$ 的值。参数是整数时，再由这些关系筛选约数或奇偶性。

例 3：两个频率：整数参数

设 $n$ 是正整数， $12 π$ 是 $f (x) = cos \frac{x}{2} + cos \frac{x}{n}$ 的一个周期。求 $n$ 的所有可能值。

怎么看出来：

$12 π$ 对第一项已经是周期，所以只看第二项。条件要对所有 $x$ 成立，先代 $x = 0$ 得必要条件。

解：

$cos \frac{x + 12 π}{2} = cos (\frac{x}{2} + 6 π) = cos \frac{x}{2}$ 。所以条件变成 $cos (\frac{x}{n} + \frac{12 π}{n}) = cos \frac{x}{n}$ 对所有 $x$ 成立。代 $x = 0$ ： $cos \frac{12 π}{n} = 1$ ，所以 $\frac{12 π}{n} = 2 mπ$ （ $m$ 是正整数）， $n = \frac{6}{m}$ 。 $n$ 是正整数，所以 $n$ 是 $6$ 的约数： $1, 2, 3, 6$ 。反过来，这时 $\frac{12 π}{n}$ 是 $2 π$ 的整数倍，等式对所有 $x$ 成立。

答案：

$n = 1, 2, 3, 6$ 。

进阶：复合函数与窗口 · 先修：本卡基础部分

数列的循环

数列 $x_{n} = sin \frac{nπ}{3}$ 中， $n$ 加 $6$ 相位多 $2 π$ ，数列循环。研究数列时，只验证所有正整数 $n$ ， $p$ 也只取正整数。只看一个初值的循环，不能说明函数本身的周期。

复合函数：看内层的取值范围

$cos (sin x)$ 中，内层 $sin x$ 在 $x$ 加 $π$ 时变号，而 $cos u$ 不受 $u$ 变号影响，所以周期比内层的 $2 π$ 短。内层的值域也有用： $sin x \in [- 1, 1]$ 时， $cos (sin x) = 1$ 只在 $sin x = 0$ 时成立，因为 $[- 1, 1]$ 内只有 $0$ 的余弦等于 $1$ 。

窗口取遍所有值

若 $f$ 的最小正周期为 $T$ ，且每个周期内最大值只在一点取到。长度为 $L$ 的开区间不论放在哪里都能取到最大值，当且仅当 $L > T$ 。理由：相邻两个最大值点相距 $T$ 。 $L \leq T$ 时可以把开区间放在它们之间，就取不到最大值。 $L > T$ 时开区间里一定有最大值点，而且含一个完整周期，所以取遍全部的值。

例 4：复合后周期变短

求 $f (x) = cos (sin x)$ 的最小正周期。

怎么看出来：

$x$ 加 $π$ ，内层变号，外层余弦不受影响。 $f (0) = 1$ 是最大值，可用来排除更小的 $T$ 。

解：

$sin (x + π) = - sin x$ ，而 $cos (- u) = cos u$ ，所以 $f (x + π) = f (x)$ ， $π$ 是周期。排除更小的：若 $T$ 是周期，则 $f (T) = f (0) = cos 0 = 1$ 。 $sin T \in [- 1, 1]$ ，而这个范围内只有 $u = 0$ 使 $cos u = 1$ ，所以 $sin T = 0$ ， $T$ 是 $π$ 的整数倍。因此最小正周期是 $π$ 。

答案：

$π$ 。

真题

按这个方法练 · 15 题

收起并返回方法目录

三角函数的单调段：相位落在半个周期内，并切开定义断点

$sin u$ 在 $u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ （再加 $2 nπ$ ）上递增，在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ （再加 $2 nπ$ ）上递减。把相位 $ω x + φ$ 放进这些段就得单调区间。区间长度不超过半个周期只是必要条件，还要回查相位。定义断点会把区间切开。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

记号和常用值

正弦的单调段

角从 $- \frac{π}{2}$ 转到 $\frac{π}{2}$ ，单位圆上的点从最低处沿右半圆走到最高处，纵坐标一路增大，所以 $sin u$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上严格递增。再从 $\frac{π}{2}$ 转到 $\frac{3 π}{2}$ ，点沿左半圆往下走， $sin u$ 严格递减。这些段每隔 $2 π$ 重复。转折点是 $u = \frac{π}{2} + nπ$ 。余弦看横坐标： $cos u$ 在 $[0, π]$ 上递减，在 $[π, 2 π]$ 上递增。

从相位回到 $x$

$y = sin (ω x + φ)$ ， $ω > 0$ 时， $x$ 增大相位也增大，所以 $y$ 的增区间就是解 $- \frac{π}{2} + 2 nπ \leq ω x + φ \leq \frac{π}{2} + 2 nπ$ 。若 $ω < 0$ ，方向相反，先用 $sin (- u) = - sin u$ 把 $ω$ 变成正数。例如 $y = sin 2 x$ 的增区间是 $- \frac{π}{4} + nπ \leq x \leq \frac{π}{4} + nπ$ 。

长度只是必要条件

单调区间内相位的变化不能超过 $π$ ，所以区间长度 $L$ 满足 $ω L \leq π$ ，即 $ω \leq \frac{π}{L}$ 。这只是必要的：相位段长度够短，也可能恰好跨过一个转折点。要把得到的 $ω$ 放回相位区间，再查一次。

先看一道例题

例 1：在一个区间内列减区间

求 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[0, π]$ 上的单调递减区间。

怎么看出来：

振幅是正数，减区间就是相位落在下降段。

解：

下降段是 $\frac{π}{2} + 2 nπ \leq 2 x - \frac{π}{3} \leq \frac{3 π}{2} + 2 nπ$ 。各加 $\frac{π}{3}$ 再除以 $2$ ： $\frac{5 π}{12} + nπ \leq x \leq \frac{11 π}{12} + nπ$ 。与 $[0, π]$ 取交，只有 $n = 0$ 落在其中，因为 $n = - 1$ 的右端 $- \frac{π}{12} < 0$ ， $n = 1$ 的左端 $\frac{17 π}{12} > π$ 。检查： $x = \frac{5 π}{12}$ 时 $y = 2$ ， $x = \frac{11 π}{12}$ 时 $y = - 2$ ，中间 $x = \frac{2 π}{3}$ 时相位 $π$ ， $y = 0$ ，确实下降。

答案：

$[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12}]$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求 $sin (ω x + φ)$ 的单调区间	把相位放进递增或递减的段，解出 $x$
已知函数在某区间单调，反求 $ω$	先由半周期给界，再查相位区间
化简时约掉了 $tan x$ 或 $sin x$ 等	记下禁点，它们会切开单调区间（见进阶“断点与回查”）
要问三角曲线和直线有几个交点	看差的导数，证明单峰（见进阶“单峰与根数”）

三、怎么用

化成标准形式，确认 $ω > 0$ 。例如 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ ， $ω = 2$ ，振幅 $2$ 是正数，不改变增减方向。
写相位不等式。增区间要 $- \frac{π}{2} + 2 nπ \leq 2 x - \frac{π}{3} \leq \frac{π}{2} + 2 nπ$ 。
解出 $x$ 。各加 $\frac{π}{3}$ 再除以 $2$ ： $- \frac{π}{12} + nπ \leq x \leq \frac{5 π}{12} + nπ$ 。
取和题目区间的交。在 $[0, π]$ 内， $n = 0$ 给 $[0, \frac{5 π}{12}]$ ， $n = 1$ 给 $[\frac{11 π}{12}, π]$ 。
查端点。 $x = \frac{5 π}{12}$ 时相位是 $\frac{π}{2}$ ，是最高点，再往后开始下降，所以端点正确。

四、再做一道

例 2：区间含原点，反求频率

$ω > 0$ ， $f (x) = sin ω x$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增。求 $ω$ 的范围。

怎么看出来：

区间含 $0$ ，相位 $ω x$ 含 $0$ ，含 $0$ 的上升段只有 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，不必分 $n$ 。

解：

相位范围是 $[- \frac{ωπ}{3}, \frac{ωπ}{4}]$ ，它含 $0$ ，必须整段在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 内。所以 $\frac{ωπ}{3} \leq \frac{π}{2}$ 且 $\frac{ωπ}{4} \leq \frac{π}{2}$ ，即 $ω \leq \frac{3}{2}$ 且 $ω \leq 2$ 。合起来 $0 < ω \leq \frac{3}{2}$ 。反过来这时相位在上升段内，确实递增。检查边界： $ω = \frac{3}{2}$ 时相位从 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{3 π}{8}$ ，递增； $ω = 1.6$ 时左端相位 $- \frac{8 π}{15} < - \frac{π}{2}$ ，越过了转折点。

答案：

$0 < ω \leq \frac{3}{2}$ 。

五、容易错在哪

只用长度得到 $ω \leq \frac{π}{L}$ 是必要条件，不回查相位区间容易把跨过转折点的值算进去。
化简时约去的因式，它的零点仍是禁点。结果要写回原定义域。
各段分别单调，不能直接推出在并集上单调，还要比较跨段的函数值。 $tan x$ 在每段内递增，但 $tan (- \frac{π}{4}) = tan \frac{3 π}{4}$ ，所以不能说在整个定义域上递增。
看图说只有一个峰不算证明，要用导数或相位说明。
$g^{'} = 0$ 的点若在定义域内，可以作为单调区间的端点。原式没意义的点不能。
振幅为负和 $ω < 0$ 各使增减方向反转一次，两者同时出现时反转抵消。先化成 $ω > 0$ 且振幅为正再判断。

进阶：断点与回查 · 先修：本卡基础部分

定义断点切开区间

原式没有意义的点不能算在内，它们会把区间切开。写单调区间时要分成两段，端点若在定义域内可以包含，禁点不能包含。 $tan x$ 在每个 $(- \frac{π}{2} + nπ, \frac{π}{2} + nπ)$ 内递增，但不能说在整个定义域上递增： $tan (- \frac{π}{4}) = - 1 = tan \frac{3 π}{4}$ 。

例 3：化简后还要带禁点

求 $y = \frac{1 - cos 2 x}{tan x}$ 的单调递增区间。

怎么看出来：

切化弦能化简，但 $tan x$ 在分母上， $cos x = 0$ 和 $sin x = 0$ 都是禁点。

解：

定义域要求 $cos x \neq = 0$ 且 $tan x \neq = 0$ ，即 $x \neq = \frac{nπ}{2}$ 。用 $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ ： $y = 2 sin^{2} x \cdot \frac{cos x}{sin x} = 2 sin x cos x = sin 2 x$ 。 $sin 2 x$ 的增段是 $- \frac{π}{4} + nπ \leq x \leq \frac{π}{4} + nπ$ 。这一段的中点 $x = nπ$ 是禁点，要切开；两端 $\pm \frac{π}{4} + nπ$ 在定义域内，可以包含。 $\frac{π}{2} + nπ$ 落在减段内，不影响增区间。

答案：

$[- \frac{π}{4} + nπ, nπ)$ 和 $(nπ, \frac{π}{4} + nπ]$ ， $n$ 是整数。

例 4：长度界不够，要回查相位

$ω > 0$ ， $y = sin (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调。求 $ω$ 的最大值。

怎么看出来：

长度 $\frac{π}{2}$ 给 $ω \leq 2$ ，但 $ω = 2$ 不一定行，要看相位区间是否跨过转折点。

解：

相位范围是 $(\frac{ωπ}{2} + \frac{π}{6}, ωπ + \frac{π}{6})$ 。试 $ω = 2$ ：相位是 $(\frac{7 π}{6}, \frac{13 π}{6})$ ，中间含转折点 $\frac{3 π}{2}$ ，不行。一般地，相位区间不含 $\frac{π}{2} + mπ$ （ $m$ 是整数）。写成存在整数 $m$ ，使 $\frac{π}{2} + mπ \leq \frac{ωπ}{2} + \frac{π}{6}$ 且 $ωπ + \frac{π}{6} \leq \frac{3 π}{2} + mπ$ 。化简： $ω \geq \frac{2}{3} + 2 m$ 且 $ω \leq \frac{4}{3} + m$ 。这两条有解要 $\frac{2}{3} + 2 m \leq \frac{4}{3} + m$ ，即 $m \leq \frac{2}{3}$ ，又要 $\frac{4}{3} + m > 0$ ，即 $m \geq - 1$ 。 $m = 0$ 给 $\frac{2}{3} \leq ω \leq \frac{4}{3}$ ， $m = - 1$ 给 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ 。最大值是 $\frac{4}{3}$ 。检查： $ω = \frac{4}{3}$ 时相位 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ ，在下降段内。

答案：

$\frac{4}{3}$ 。

进阶：单峰与根数 · 先修：导数的概念

导数：判断单峰

函数 $g$ 的导数 $g^{'}$ 表示切线斜率： $g^{'} > 0$ 的区间上 $g$ 严格增， $g^{'} < 0$ 的区间上 $g$ 严格减。这里用到的公式是 $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(k x)^{'} = k$ ，和的导数等于导数的和。比较曲线和直线时，看差 $g = sin x - k x$ ， $g^{'} = cos x - k$ 。若 $g^{'}$ 在所讨论的区间上由正变负只变一次号， $g$ 就先增后减，叫单峰。单峰函数在每一段单调部分至多穿过零一次，再由端点和中间一点的符号确定根数。三角函数连续，变号可以保证有根；不变号时还要检查极值点是否为 $0$ 。

例 5：正弦与直线：证明恰有一个交点

证明：方程 $sin x = \frac{x}{2}$ 在 $(0, π)$ 内恰有 $1$ 个根。

怎么看出来：

比较曲线和直线。差的导数 $cos x - \frac{1}{2}$ 在 $(0, π)$ 上只变一次号，差函数先增后减。

解：

设 $g (x) = sin x - \frac{x}{2}$ ， $g^{'} (x) = cos x - \frac{1}{2}$ 。在 $(0, π)$ 上 $cos x$ 严格减， $x = \frac{π}{3}$ 时等于 $\frac{1}{2}$ 。所以 $g^{'} > 0$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ ， $g^{'} < 0$ 在 $(\frac{π}{3}, π)$ ， $g$ 先增后减。 $g (0) = 0$ ，所以在 $(0, \frac{π}{3}]$ 上 $g > 0$ ，这里没有根。在 $(\frac{π}{3}, π)$ 上 $g$ 严格减，而 $g (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{6} > 0$ ， $g (π) = - \frac{π}{2} < 0$ 。 $g$ 连续，所以这里恰有一个根。

答案：

恰有 $1$ 个根，在 $(\frac{π}{3}, π)$ 内。

真题

按这个方法练 · 18 题

收起并返回方法目录

移动的区间能取到哪些值：看区间装不装得下极值点

$sin x$ 在一段闭区间上的最大值和最小值，只由区间里的最高点、最低点和两个端点决定。所以问题变成：这段区间够不够长、放在哪里，才能装下需要的点。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

记号和极值点的间距

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos t$ ，纵坐标叫 $sin t$ 。 $sin x$ 的最高点是 $x = \frac{π}{2} + 2 kπ$ （ $k$ 是整数），值为 $1$ ；最低点是 $x = - \frac{π}{2} + 2 kπ$ ，值为 $- 1$ 。相邻两个最高点相距 $2 π$ ，相邻的最高点和最低点相距 $π$ 。常用值： $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ （ $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边是斜边的一半）；再转半圈，落点关于原点对称，坐标变号，所以 $sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}$ 。

一段区间上的最大值和最小值在哪里

在相邻的最高点和最低点之间， $sin x$ 一直递增或一直递减，所以没有极值点的闭区间上，最大值和最小值都在两个端点。区间里有最高点时，最大值是 $1$ ；有最低点时，最小值是 $- 1$ 。其余的值看端点。例如 $[0, a]$ 上： $0 < a \leq \frac{π}{2}$ 时最大值 $sin a$ ， $a \geq \frac{π}{2}$ 时最大值 $1$ 。

“存在”和“任意”的区别

问“存在一段长为 $L$ 的闭区间同时取到 $1$ 和 $- 1$ ”，只要 $L$ 能盖住相邻的最高点和最低点， $L \geq π$ 。问“任意一段长为 $L$ 的闭区间都取到 $1$ ”，就要 $L$ 大到躲不开最高点， $L \geq 2 π$ ： $L < 2 π$ 时可以把区间放在两个相邻最高点的中间。

先看一道例题

例 1：存在和任意

设 $L > 0$ 。（1）存在实数 $a$ ，使 $y = sin 2 x$ 在 $[a, a + L]$ 上同时取到 $1$ 和 $- 1$ ，求 $L$ 的范围。（2）对任意实数 $a$ ， $y = sin 2 x$ 在 $[a, a + L]$ 上都同时取到 $1$ 和 $- 1$ ，求 $L$ 的范围。

怎么看出来：

先写最高点和最低点的位置。（1）放到最有利的位置；（2）放到最不利的位置。

解：

$sin 2 x = 1$ 即 $x = \frac{π}{4} + kπ$ ； $sin 2 x = - 1$ 即 $x = \frac{3 π}{4} + kπ$ 。相邻的最高点和最低点相距 $\frac{π}{2}$ ，相邻的最高点相距 $π$ 。（1）要盖住一个最高点和一个最低点， $L \geq \frac{π}{2}$ ； $L \geq \frac{π}{2}$ 时取 $a = \frac{π}{4}$ ，区间含 $\frac{π}{4}$ 和 $\frac{3 π}{4}$ ，确实可以。（2）若 $L < π$ ，取 $a = \frac{π}{4} + \frac{π - L}{2}$ ，则 $a > \frac{π}{4}$ ， $a + L = \frac{π}{4} + \frac{π + L}{2} < \frac{5 π}{4}$ ，区间在两个相邻最高点之间，取不到 $1$ 。若 $L \geq π$ ，区间含完整的闭周期 $[a, a + π]$ ，其中既有最高点，也有最低点。

答案：

（1） $L \geq \frac{π}{2}$ ；（2） $L \geq π$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
对任意区间位置都要取到某个值	把区间放到最不利的位置，看能否躲开那个点
“存在”一段区间满足条件	把区间放到最有利的位置，看最短要多长
区间一端固定，另一端变化	让区间慢慢变长，看最大值和最小值何时改变
任意位置的开区间，都要取遍全部的值	看最高点、最低点的最大间距， $sin x$ 这类函数要求长度严格大于周期（见进阶“开区间”）；如果只要某一个区间，长度可以更短
最大值减最小值固定或求范围	按区间含不含极值点分类，并写出中间值怎么取到（见进阶“最值差”）
区间上的最大值等于某个不是 $\pm 1$ 的数	整段落在不超过它的范围内，且碰到它（见进阶“最大值等于给定的数”）

三、怎么用

列出极值点和它们的间距。例如 $y = sin x$ ，问闭区间 $[a, a + L]$ 对任意 $a$ 是否都取到 $1$ 。最高点相距 $2 π$ 。
找最不利的位置，得到必要条件。把区间放在两个相邻最高点之间： $L < 2 π$ 时，取 $a = \frac{π}{2} + \frac{2 π - L}{2}$ ，区间在 $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{2})$ 内，取不到 $1$ 。所以必须 $L \geq 2 π$ 。
证明足够。 $L \geq 2 π$ 时，区间含一个完整的闭周期 $[a, a + 2 π]$ ，其中一定有最高点。
写出结论并查边界。 $L = 2 π$ 时闭区间仍然够，答案是 $L \geq 2 π$ 。开区间时 $L = 2 π$ 不够，所以开区间和闭区间要分开写。

四、再做一道

例 2：一端固定，另一端变长

$a > 0$ ， $y = sin x$ 在 $[0, a]$ 上的最大值与最小值之差为 $\frac{3}{2}$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

左端固定，让 $a$ 慢慢变大，分段写出最大值和最小值。

解：

$0 < a \leq \frac{π}{2}$ ： $sin x$ 递增，最大值 $sin a$ ，最小值 $0$ ，差 $sin a \leq 1$ 。 $\frac{π}{2} < a \leq π$ ：最大值 $1$ ，最小值是 $sin 0 = 0$ 和 $sin a \geq 0$ 中较小的，为 $0$ ，差为 $1$ 。 $π < a < \frac{3 π}{2}$ ：最大值 $1$ ， $sin a < 0$ ，最小值 $sin a$ ，差 $1 - sin a$ 。 $a \geq \frac{3 π}{2}$ ：最大值 $1$ ，最小值 $- 1$ ，差为 $2$ 。只有第 $3$ 段可能等于 $\frac{3}{2}$ ： $1 - sin a = \frac{3}{2}$ ， $sin a = - \frac{1}{2}$ 。在 $(π, \frac{3 π}{2})$ 内 $a = \frac{7 π}{6}$ 。检查： $[0, \frac{7 π}{6}]$ 上最大值 $1$ ，最小值 $- \frac{1}{2}$ ，差 $\frac{3}{2}$ 。

答案：

$a = \frac{7 π}{6}$ 。

五、容易错在哪

开区间的长度等于周期时，不一定能取遍全部的值，因为两端的极值点都不算。
只构造出最长和最短两种情况，不能说明中间的长度或差都能取到。
全域的振幅不代表一小段区间的最值差。长 $\frac{π}{2}$ 的区间上，差可以小到 $1 - \frac{2}{2}$ 。
“存在”和“任意”方向相反：存在只要 $L \geq π$ 就能取到 $sin x$ 的最大值和最小值，任意则要 $L \geq 2 π$ 。

进阶：开区间

开区间：长度等于周期不够

周期是 $T$ 时，闭区间 $[a, a + T]$ 总能取遍全部的值。开区间 $(a, a + T)$ 不一定：以 $sin x$ 为例，一个周期里只有 $1$ 个最高点，取 $a$ 正好是最高点，两端的最高点都不算，就取不到最大值。一个周期里有多个最高点的函数，要看最高点之间的间距。若 $L > T$ ，任意开区间 $(a, a + L)$ 里都能放下一个闭周期：取 $ε$ 满足 $0 < ε < L - T$ ，有 $[a + ε, a + ε + T]$ 在开区间内。

例 3：两列点并起来看最大间隔

$L > 0$ 。对任意实数 $a$ ，在开区间 $(a, a + L)$ 内， $sin x = 1$ 和 $cos 3 x = 1$ 这两个方程至少有一个有解。求 $L$ 的范围。

怎么看出来：

两列点合起来看，只要开区间总能碰到其中一个点。关键是合并后相邻两点的最大间隔。

解：

$sin x = 1$ 的解是 $\frac{π}{2} + 2 kπ$ ， $cos 3 x = 1$ 的解是 $\frac{2 jπ}{3}$ 。两列都以 $2 π$ 为周期。在 $[0, 2 π]$ 内合并排序： $0, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, 2 π$ ，相邻间隔是 $\frac{π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3}$ ，最大是 $\frac{2 π}{3}$ 。若 $L \leq \frac{2 π}{3}$ ，取 $a = \frac{2 π}{3}$ ，开区间在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ 内，没有这些点，不符合。若 $L > \frac{2 π}{3}$ ：对任意 $a$ ，设 $q$ 是合并后大于 $a$ 的最小的点，比 $q$ 小的相邻点 $p \leq a$ ，所以 $q - a \leq q - p \leq \frac{2 π}{3} < L$ ， $q$ 在开区间内。

答案：

$L > \frac{2 π}{3}$ 。

进阶：最值差 · 先修：和角公式

最大值减最小值的上界

由和角公式， $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ 。 $∣ cos ∣ \leq 1$ ，所以 $∣ u - v ∣ \leq L \leq π$ 时， $∣ sin u - sin v ∣ \leq 2 sin \frac{L}{2}$ （这里 $\frac{L}{2} \leq \frac{π}{2}$ ， $sin$ 在这段递增）。这个界只在 $L \leq π$ 时这样用，并且它只是上界，能不能取到要另外看。全域的振幅是 $1$ ，不能直接当成一小段区间上的最值差。

中间的值怎么取到

答案写成一段范围时，光说两个端点能取到不够，中间每个值都要能取到。区间连续地滑动或连续地变长时，最值差也连续变化，所以两个已知的值之间都能取到；也可以直接写出每个值对应的区间。

例 4：固定长度，求最值差的范围

$a$ 取任意实数， $M$ 、 $m$ 分别是 $y = sin x$ 在 $[a, a + \frac{π}{2}]$ 上的最大值、最小值。求 $M - m$ 的取值范围。

怎么看出来：

设区间中点为 $c$ ，按区间里含不含极值点分类。有周期和对称，只需看 $c$ 靠近哪个点。

解：

设 $c = a + \frac{π}{4}$ ，区间是 $[c - \frac{π}{4}, c + \frac{π}{4}]$ 。 $c$ 增加 $π$ 时 $sin x$ 变号，最值差不变，所以取 $c \in [- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ 。情形 1： $- \frac{π}{4} < c < \frac{π}{4}$ ，区间不含极值点， $sin x$ 递增，最值差 $= sin (c + \frac{π}{4}) - sin (c - \frac{π}{4}) = 2 cos c sin \frac{π}{4} = 2 cos c$ 。 $cos c \in (\frac{2}{2}, 1]$ ，这段差取遍 $(1, 2]$ 。情形 2： $\frac{π}{4} \leq c \leq \frac{3 π}{4}$ ，区间含最高点 $\frac{π}{2}$ ， $M = 1$ 。设 $d = c - \frac{π}{2} \in [0, \frac{π}{4}]$ ，离最高点较远的端点相距 $d + \frac{π}{4}$ ，函数值是 $cos (d + \frac{π}{4})$ ，它就是 $m$ （ $cos$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上递减，且这个值非负）。差 $= 1 - cos (d + \frac{π}{4})$ ， $d$ 从 $0$ 变到 $\frac{π}{4}$ 时，它从 $1 - \frac{2}{2}$ 连续增到 $1$ 。两种情形合起来。

答案：

$1 - \frac{2}{2} \leq M - m \leq 2$ 。

进阶：最大值等于给定的数

最大值等于给定的数：先落在范围内，再碰到它

闭区间上 $sin x$ 的最大值等于 $h$ （ $- 1 < h < 1$ ），要同时满足两件事：整段都在 $sin x \leq h$ 的范围内，并且确实碰到 $sin x = h$ 。 $sin x \leq \frac{1}{2}$ 的解是若干段 $[\frac{5 π}{6} + 2 kπ, \frac{13 π}{6} + 2 kπ]$ ，每段内 $sin x = \frac{1}{2}$ 只发生在两端。所以区间必须整个落在其中一段内，且左端或右端碰到这段的边界。

例 5：区间上的最大值等于一半

$a \in [0, 2 π)$ ， $y = sin x$ 在 $[a, a + \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

整段要在 $sin x \leq \frac{1}{2}$ 的范围内，还要碰到 $\frac{1}{2}$ ，而每段范围只在两端碰到。

解：

$sin x \leq \frac{1}{2}$ 的解是 $[\frac{5 π}{6} + 2 kπ, \frac{13 π}{6} + 2 kπ]$ ，这段长 $\frac{4 π}{3}$ ，比 $\frac{π}{2}$ 长，放得下。区间必须落在某一段内，且一端碰到这段的边界。左端碰到： $a = \frac{5 π}{6} + 2 kπ$ ， $a \in [0, 2 π)$ 时 $a = \frac{5 π}{6}$ ，右端 $\frac{4 π}{3}$ 仍在段内。右端碰到： $a + \frac{π}{2} = \frac{13 π}{6} + 2 kπ$ ， $a = \frac{5 π}{3} + 2 kπ$ ， $a \in [0, 2 π)$ 时 $a = \frac{5 π}{3}$ ，左端 $\frac{5 π}{3}$ 在段内。检查： $a = \frac{5 π}{6}$ 时 $sin x$ 从 $\frac{1}{2}$ 降下去； $a = \frac{5 π}{3}$ 时 $sin x$ 从 $- \frac{3}{2}$ 升到 $\frac{1}{2}$ ，最大值都是 $\frac{1}{2}$ 。

答案：

$a = \frac{5 π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{3}$ 。

真题

按这个方法练 · 4 题

收起并返回方法目录

误区对照

容易误以为

将 $y = sin 4 x$ 的图像向右平移 $π /8$ ，得到 $y = sin (4 x - π /8)$ 。

应当这样想

输入替换为 $x - π /8$ ，所以 $y = sin (4 (x - π /8)) = sin (4 x - π /2) = - cos 4 x$ 。平移后的零点从 $x = 0$ 移到 $x = π /8$ ，可代入核验。

为什么

水平位移先作用于整个输入，再乘频率。相位变化是频率乘位移，不是直接减同一个数。

容易误以为

因为 $cos 3 x$ 的最小正周期是 $2 π /3$ ，所以 $cos^{2} 3 x$ 的最小正周期也必相同。

应当这样想

降幂得 $cos^{2} 3 x = (1 + cos 6 x) /2$ ，故 $π /3$ 是周期。若 $T > 0$ 是周期，代 $x = 0$ 得 $cos^{2} 3 T = 1$ ，所以 $3 T$ 为 $π$ 的正整数倍；最小正周期为 $π /3$ 。

为什么

平方会消去正负号，可能缩短周期；原函数的一个周期只能给新函数周期的候选，不能代替最小性证明。

容易误以为

$sin (π - x) = sin x$ ，因此 $sin x = 1$ 在 $(0, π)$ 内的根必成对，根数为偶数。

应当这样想

这里唯一根为 $x = π /2$ ，它在反射 $x \mapsto π - x$ 下是不动点，只计一次。配对前必须把固定点单独检查。

为什么

对称映射的二元轨道确实成对，但固定点构成一元轨道；不能由集合对称直接推出元素个数为偶数。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 103 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

三角函数的图象与性质

从这里开始

先求像区间，再核对能否取到

知识要点

方法卡

同频率的正弦余弦相加：合成一项，读振幅、中心线和频率

一、是什么

记号和常用值

和角与降幂公式

合成一项

φ 要看两个符号

读振幅、中心线、频率

平移和奇偶：别忘乘频率

先看一道例题

例 1：由最大值反求系数，再找最大值点

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：平移后为奇函数

五、容易错在哪

四次项：先降到二倍角和四倍角

例 3：四次项和四倍角合成

有解条件和反解

含绝对值：先用对称缩小范围

例 4：由有解求系数范围

恰有几个零点或极值点：把 x 的区间换成相位区间，再数点

一、是什么

记号：sint 的零点和极值点

相位：把区间平移、伸缩

用两个相邻的点夹参数

不能只看区间长度

先看一道例题

例 1：区间右端是参数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：区间跨过原点

五、容易错在哪

零点和极值点排成一队

例 3：两种频率的零点合并

化成 t=sinx 再数：每个 t 对应几个 x

例 4：根的个数随参数变化

根之间的距离

对称轴也落在相位上

例 5：对称轴和零点个数同时给

和别的曲线相交：要证根数，也要留意切点

例 6：有切点的交点

只含一个三角函数：先求它的范围，再当代数式做

一、是什么

单位圆：sinx、cosx 和弧度

特殊角怎么算

用对称算其他角，并反求角

x 受限时，范围要重新求

分母的限制也要带上

一个 t 对应几个 x

先看一道例题

例 1：限定区间的最值

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：数方程的根

五、容易错在哪

有理式：作差比较

说明中间的值都取得到

例 3：有理式的值域

sinx+cosx 整体设元

倍角先化成一个函数

例 4：和与积同时出现

例 5：倍角化成正弦

两个角分别换元

例 6：两个角的准确范围

tanx 也能换元

arcsin 和 arccos

三次式用导数

例 7：端点比导数零点更大

例 8：含参数：恰有两个根

方程的根成对出现：用对称算根的个数奇偶和根的和

一、是什么

记号和反射

先核区间：反射要把区间变成自己

$φ$ 要看两个符号

恰有几个零点或极值点：把 $x$ 的区间换成相位区间，再数点

记号： $sin t$ 的零点和极值点

化成 $t = sin x$ 再数：每个 $t$ 对应几个 $x$

单位圆： $sin x$ 、 $cos x$ 和弧度

$x$ 受限时，范围要重新求

一个 $t$ 对应几个 $x$

$sin x + cos x$ 整体设元

$tan x$ 也能换元

$arcsin$ 和 $arccos$

从相位回到 $x$