一试训练题

设集合 $M=\{a\mid a=x^2-y^2,x,y\in \mathbb{Z}\}$，求证： （1）$2k-1\in M(k\in \mathbb{Z})$；（2）$4k-2\notin M(k\in \mathbb{Z})$； （3）若 $p\in M,q\in M$，则 $pq\in M$。

以某些整数为元素的集合 $P$ 具有下列性质：（1）$P$ 中的元素有正数和负数；（2）$P$ 中的元素有奇数和偶数； （3）$-1\notin P$；（4）若 $x,y\in P$，则 $x+y\in P$。 试判断实数 $0$ 和 $2$ 与集合 $P$ 的关系。

若实数集合 $\{1,2,3,x\}$ 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，求 $x$ 的值。

平面上有三个点集

求这三个集合之间的关系。

有 $1987$ 个集合，每个集合有 $45$ 个元素，任意两个集合的并集有 $89$ 个元素。 求这 $1987$ 个集合的并集的元素个数。

设 $I=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，$A,B\subseteq I$，且

求 $A\cap ({\complement }_{I}B)$。

在图示 Venn 图中，$A,B$ 是非空集合，定义集合 $A\otimes B$ 为阴影部分表示的集合。

若 $x,y\in \mathbb{R}$，$A=\{x\mid y=\sqrt{2x-x^2}\}$，$B=\{y\mid y=3^x,x>0\}$，求 $A\otimes B$。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(0)=f(1)$，且对任意不同的 $x_1,x_2\in [0,1]$，都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|$。求证：$|f(x_2)-f(x_1)|<1/2$。

集合 $A$ 是由适合以下性质的函数 $f(x)$ 构成的：对于任意的 $u,v\in (-1,1)$，都有 $|f(u)-f(v)|\le 3|u-v|$。

（1）分别判断函数 $f_1(x)=\sqrt{1+x^2}$ 及 $f_2(x)={\log }_2(x+1)$ 是否在集合 $A$ 中，并说明理由。

（2）设函数 $f(x)=a{x}^2+bx$ 且 $f(x)\in A$，试求 $a^2+b^2$ 的取值范围。

（3）在（2）的条件下，若 $f(2)=6$，且对满足（2）的实数 $a$，存在最小的实数 $m$，使得当 $x\in [m,2]$ 时，$|f(x)|\le 6$ 恒成立，试写出用 $a$ 表示 $m$ 的表达式。

已知 $f_0(x)=x^n$，$f_k(x)=\frac{f_{k-1}^{\prime }(x)}{f_{k-1}(1)}$，其中 $k\le n$（$n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。设

（1）写出 $f_k(1)$。

（2）求证：对任意的 $x_1,x_2\in [-1,1]$，恒有 $|F(x_1)-F(x_2)|\le 2^{n-1}(n+2)-n-1$。

设 $x,y$ 是实数，且满足

求 $x+y$ 的值。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，对任意的实数 $x_1,x_2$ 都满足 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$，当 $x>0$ 时 $f(x)>0$，且 $f(2)=3$。

（1）试判断 $f(x)$ 的奇偶性和单调性。

（2）当 $\theta \in [0,\pi /2]$ 时，$f(\cos 2\theta -3)+f(4m-2m\cos \theta )>0$ 对所有的 $\theta$ 均成立，求实数 $m$ 的取值范围。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数。若对任意实数 $x$，有 $f(x+2)=-f(x)$，且当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)=2x$，则 $f(10\sqrt{3})=$。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^2$。若对任意的 $x\in [a,a+2]$，不等式 $f(x+a)\ge 2f(x)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x),g(x)$ 恒满足：

（1）求证：函数 $f(x),g(x)$ 都是周期函数。

（2）如果 $f^2(x)+g^2(x)=1$，求证：$f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数。

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，当 $0<x\le 2$ 时，$f(x)=x+1$，则 $f(-100)+f(-101)=$。

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)+f(1-x)=0$，$f(x+2)-f(2-x)=0$，且 $f(2/3)=1$，则 $f(1000/3)=$。

函数 $f(x)=|\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x|$ 的最小正周期为。

函数 $y=2(5-x)\sin \pi x-1$（$0\le x\le 10$）的所有零点之和等于。

从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形涂色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是。

一个五位自然数$\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$，如果同时有$a_1<a_2,a_2>a_3,a_3<a_4,a_4>a_5$或$a_1>a_2,a_2<a_3,a_3>a_4,a_4<a_5$，则称其为“跳跃数”。例如，13284、40329都是“跳跃数”，而12345、54371、94333都不是“跳跃数”。则由$1,2,3,4,5$组成的没有重复数字且1、4不相邻的“跳跃数”共有个。

任取集合$\{1,2,3,4,\dots ,10\}$中的三个不同数$a_1,a_2,a_3$，且满足$a_2-a_1\ge 2,a_3-a_2\ge 3$，则选取这样的三个数的方法共有种。

形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由$1,2,3,4,5$可构成数字不重复的五位“波浪数”的个数为。

现有10个优秀学生名额分配给6个班级，若每班至少有1个名额，则不同分配方案有种。

已知由6个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是4的倍数，十位和百位上的数字都是3的倍数，且六位数的数码和为21，则满足上述条件的六位数有个。

给图中$A,B,C,D,E,F$等6个区域进行染色，每个区域只染1种颜色，且相邻的区域不同色。若有4种颜色可供选择，则共有种不同的染色方案。

集合$A,B$满足条件$A\cap B\ne \varnothing ,A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$。当$A\ne B$时，我们将$(A,B)$和$(B,A)$视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对$(A,B)$共有个。

设$A,B$是集合$\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$的两个不同子集，若使得$A$不是$B$的子集，$B$也不是$A$的子集，则不同的有序集合对$(A,B)$的组数为。

用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为。

甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次。赛后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军。”对乙说：“你当然不会是最差的。”从这个回答分析，5人的名次排列可能有种不同的情况。

从$0,1,2,\dots ,9$中选出3个不同数字组成四位数（其中的一个数字用2次），如5224，则这样的四位数共有个。

若用$0,1,2,3,4,5$这六个数字组成没有重复数字的五位数和四位数，则其中为5的倍数的五位数的个数是，比1325大的四位数的个数是。

如图，有一种游戏画板，要求参与者用6种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色。要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有。

如图，在某海岸$P$的附近有三个岛屿$Q,R,S$，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有种。

如果$\{1,2,\dots ,9\}$的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，则称该子集为“忐忑子集”，那么，“忐忑子集”的个数是。

如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，求下列方案数：

(1)相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用；

(2)相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1、4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯。

有7张卡片分别写有数字$1,1,1,2,2,3,4$，从中任取4张，求可排出的四位数的个数。

已知正整数$m,n$满足：$m,n$能整除2016，但$mn$不能整除2016。求符合条件的$(m,n)$的个数。

现要将一边长为101的正方体$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$分割成两部分，要求如下：(1)分割截面交正方体各棱$A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$于点$P,Q,R,S$（可与顶点重合）；(2)线段$AP,BQ,CR,DS$的长度均为非负整数，且线段$AP,BQ,CR,DS$的每一组取值对应一种分割方式。问：有多少种不同的分割方式？

已知集合$A=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}$，函数$f(x)$定义于$A$并取值于$A$。

(1)若$f(x)\ne x$对于任意的$x\in A$成立，求这样的函数$f(x)$的个数。

(2)若至少存在一个$x\in A$，使$f(f(f(x)))\ne x$，求这样的函数$f(x)$的个数。

现有天平及重量为1、2、4、10的砝码各一个。每一步，我们选取任意一个砝码，将其放在天平的左边或者右边，直至所有砝码放到天平的两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边。求这样的放法数。

对非空有限复数集合$A$，定义$A$的“陶模”为$|{\sum }_{z\in A}z|$。给定整数$n\ge 3$，设集合$U_n=\{\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\mid k=0,1,\dots ,n-1\}$。记$a_n$为$U_n$的陶模为0的非空子集的个数，$b_n$为$U_n$的陶模为1的非空子集的个数。比较$n{a}_n$和$2b_n$的大小。

已知集合$A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,x,y\in \mathbb{Z}\}$，$B=\{(x,y)\mid |x|\le 2,|y|\le 2,x,y\in \mathbb{Z}\}$，定义$A\oplus B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$，则$A\oplus B$中元素的个数为。

已知 $A+B+C=2k\pi +\pi$（$k\in \mathbb{Z}$），求证：对于任意实数 $x,y,z$，有

已知二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（$a<b$），若 $y\ge 0$ 恒成立，则 $\frac{a+2b+4c}{b-a}$ 的最小值是 $\underline{}$。

设集合 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$，$B=\{7,8,9,\dots ,n\}$，在集合 $A$ 中取3个数，在集合 $B$ 中取2个数，组成5个元素的集合 $A_i$，$i=1,2,\dots ,20$，$|A_i\cap A_j|\le 2$，$1\le i<j\le 20$，则 $n$ 的最小值为 $\underline{}$。

设 $A\subseteq \{1,2,3,\dots ,80\}$，若 $A$ 中任意两个元素的和都不是 $3$ 的幂次，则 $|A|$ 最大为多少？

已知三个集合 $A,B,C$ 满足

则 $A$ 中的元素之和为。

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+3xy+4y^2\le \frac{7}{2}$，则 $x+y$ 的最大值为 $\underline{}$。

设实数 $a,b$ 满足 $0\le a,b\le 8$，且 $b^2=16+a^2$，则 $b-a$ 的最大值与最小值之和是 $\underline{}$。

已知 $a,b\in \mathbb{Z}$，且 $a+b$ 为方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个根，则 $b$ 的最大可能值为 $\underline{}$。

方程 $\sqrt{a{x}^2+ax+2}=ax+2$ 有唯一实根，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$。

方程 $10{\lg }^{2}x+x^{\lg x}=20$ 的解集为。

若函数 $f(x)=(x^2-ax+2a)\ln (x+1)$ 的图象经过四个象限，则实数 $a$ 的取值范围是。

解方程 $x^{{\log }_{a}x}=\frac{x^3}{a^2}$，则 $x=$。

若实数 $x$ 满足 $\lg \sin x+\lg \cos x=-1$，则 $\lg (\sin x+\cos x)=$。

设 $a,b,c\in \mathbb{R}$，已知对于 $-1\le x\le 1$，恒有 $|a{x}^2+bx+c|\le 1$。求证：对于 $-1\le x\le 1$，恒有 $|c{x}^2+bx+a|\le 2$。

求 $\sqrt{3-2x}+\sqrt{3x}$ 的最大值与最小值之和。

设 $f(x)=\frac{2(1-x)}{(4-2x+x^2{)}^2}$，则 $f^{(99)}(0)=\underline{}$。（这里 $f^{(99)}(0)$ 是指对函数 $f$ 求导99次后在0处的取值。）

已知方程 $e^x=\frac{2}{2x-1}$ 的解为 $x_1$，方程 $\ln (x+1)=\frac{x+3}{2x+2}$ 的解为 $x_2$，则

二次函数 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$，且满足 $-3x^2-1\le f(x)\le 6x+2$，则函数 $f(x)$ 的表达式为。

已知两个不等实数 $x,y$ 满足 $8^x-8^y=4^x-4^y$。求 $T=16^x+16^y$ 的取值范围。

已知 $a,b,c$ 为正整数，且满足 $a<b<c$，定义 $f:{\mathbb{Z}}_{+}\to {\mathbb{Z}}_{+}$ 满足

求可能的 $f$ 的不动点个数。

已知实数 $a$ 满足 $0<a<1$，求证：$a<a^{a^a}<a^a$。

函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足 $f(0)=1013$，且对任意 $x\in \mathbb{R}$ 均有 $f(x+5)-f(x)\le 3(x+3)$，$f(x+15)-f(x)\ge 9(x+8)$。则 $\frac{f(2025)}{2026}$ 的值为 $\underline{}$。

已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上有意义，在区间 $(0,+\infty )$ 上为减函数，且 $f(k)=0$（$k>0$）。又函数

若集合

试求 $A\cap B$。

函数 $f(x)=\frac{x^2+2x+5}{x^2-2x+5}$ 的值域为。

求函数 $y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{2+x}$ 的值域。

设 $x,y>0$，$x^3+y^3=x-y$，则使 $x^2+\lambda y^2\le 1$ 恒成立的 $\lambda$ 的最大值是。

对于集合 $\{x\mid a\le x\le b\}$，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合

且 $A,B$ 都是集合 $U=\{x\mid 0\le x\le 2012\}$ 的子集，则集合 $A\cap B$ 的长度的最小值是。

已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a\le b+c\le 3a$，$3b^2\le a(a+c)\le 5b^2$，则 $\frac{b-2c}{a}$ 的最小值为。

实数 $x,y$ 满足 $x^2+xy+y^2-x-y+\frac{4}{13}=0$，则函数 $f(x,y)=\frac{2x^2+xy+2y^2}{x^2-xy+2y^2}$ 的值域为。

设 $A=\{1,2,3,\dots ,2n,2n+1\}$，$B$ 是 $A$ 的一个子集，且 $B$ 中的任意三个不同元素 $x,y,z$，都有 $x+y\ne z$。求 $|B|$ 的最大值。

将集合 $S=\{1,2,\dots ,36\}$ 分拆为 $k$ 个互不相交的非空子集 $A_1,A_2,\dots ,A_k$ 的并，并且对于每一个 $A_i$（$i=1,\dots ,k$），其中任意两个不同的元素的和都不是完全平方数，求 $k$ 的最小值。

设 $S$ 为 $\{1,2,\dots ,9\}$ 的子集，且 $S$ 中任意两个不同的数之和所得的数两两不同，问：$S$ 中最多有多少个元素？

平面区域 $\{(x,y)\mid \sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-y^2}\ge xy\}$ 的面积为。

设函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，已知 $|f(-1)|\le 1$，$|f(0)|\le 1$，$|f(1)|\le 1$，求证：当 $x\in [-1,1]$ 时，$|f(x)|\le \frac{5}{4}$。

设 $a,b$ 是实数，二次方程 $x^2-ax+b=0$ 的一个根属于区间 $[-1,1]$，另一个根属于区间 $[1,2]$。求 $a-2b$ 的取值范围。

已知抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 过 $(0,-1)$、$(1,2)$、$(-3,2)$ 三点。

1. (1)

   在这条抛物线上求出到两个坐标轴距离相等的点；

2. (2)

   求出以(1)中的点为顶点的多边形的面积。

若抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(2,5)$，且与直线 $y=a$ 有交点，求 $|a|+|b|+|c|$ 的取值范围。

设 $f(x)$ 是一个二次函数，若函数 $f(2x)-f(x)$ 的最小值为 $-1$，求函数 $f(22x)-f(23x)$ 的最大值。

实数 $x,y$ 满足 $x^2+(y-2{)}^2\le 1$，求函数 $f(x,y)=\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的值域。

若 $a,b\in {\mathbb{R}}^{+}$，求满足不等式

的 $x$ 的取值范围。

如图，给定由 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个点组成的正三角形点阵。在其中任意取 $3$ 个点，以这三点为顶点构成的三角形为正三角形的概率为。

如图所示为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 $5$ 种颜色给其中 $5$ 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 $A,C$ 区域涂色不相同的概率为。

设 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，求证：

考虑斐波那契数列 $\{f_n\}$：$f_0=f_1=1$，$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$，用母函数法求斐波那契数列的通项公式。

已知 $△ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 成等差数列，且

则实数 $b$ 的取值范围是 。

在数列 $\{a_n\}$ 中，如果对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，都有

（$\lambda$ 为常数），则称 $\{a_n\}$ 为比等差数列，$\lambda$ 称为比公差。以下命题：

① 等比数列一定是比等差数列，等差数列可能是比等差数列；

② 若 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，则 $\{a_n{b}_n\}$ 是比等差数列；

③ 若数列 $\{F_n\}$ 满足

则该数列不是比等差数列。

其中真命题的序号有 。

作出下列函数的图象：

已知

（其中 $a$、$b$、$c$ 是实常数），且 $f(-2)=10$。求 $f(2)$ 的值。

求所有正整数 $n$，使得存在一个集合 $S$，满足：

1. (1)

   $S$ 由 $n$ 个都小于 $2^{n-1}$ 的正整数组成；

2. (2)

   对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，$A$ 中元素之和不等于 $B$ 中元素之和。

设正整数 $n⩾4$，集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$（$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ 为整数）满足：$2023\in A$，且 $A$ 中任意两个元素的差的绝对值是素数，求所有这样的集合 $A$。

一个 $4$ 元实数集合 $S$ 的所有子集的元素和的总和等于 $2008$ (这里空集的元素和认为是 $0$). 求 $S$ 的所有元素的和.

对集合 $\{1,2,\cdots ,15\}$ 的子集 $S$，若正整数 $n$ 和 $n+|S|$ 都是 $S$ 的元素，则称 $n$ 为 $S$ 的一个“好数”。如果一个集合 $S$ 有一个元素是“好数”，那么称 $S$ 为“好集”。设 $7$ 是某个“好集” $X$ 的一个“好数”。问：这样的子集 $X$ 有多少个？

已知 $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ 是 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 的有序子集组，满足：$E_1\cap E_2\ne \varnothing$，$E_2\cap E_3\ne \varnothing$，$E_3\cap E_4\ne \varnothing$。问：有多少个这样的子集组？

设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,\frac{2S_{n+1}+1}{2S_n+1}=\frac{a_2}{a_1}=k(k>0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ . (1) 证明: $\{a_n\}$ 是等比数列. (2)若 $a_1+a_2=4$ ,数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n={\log }_3{a}_n-\frac{c}{a_n}$ ,其前 $n$ 项和为 $T_n$ ,满足对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $T_n\ge T_3$ ,求正实数 $c$ 的取值范围.

在数列 $\{a_n\}$ 中：(1)若 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_{21}+a_{90}=8$，则 $S_{110}=\underline{}$。(2)若 $\{a_n\}$ 为正项等比数列，且 $a_{1007}=10$，则 $\lg a_1+\lg a_2+\cdots +\lg a_{2013}=\underline{}$。

数列 $1\times 4,2\times 5,3\times 6,\cdots ,n\times (n+3),\cdots$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\underline{}$。

在矩形$ABCD$中，$AB=2,AD=1$，边$DC$上（包含点$D,C$）的动点$P$与$CB$延长线上（包含点$B$）的动点$Q$满足$|DP|=|BQ|$，求向量$\overrightarrow{PA}$与向量$\overrightarrow{PQ}$的数量积$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PQ}$的最小值。

函数 $g$ 把实数映到实数。用 $F$ 表示它的不动点集，用 $E$ 表示复合函数 $g\circ g$ 的不动点集。证明 $F\subseteq E$；再证明严格递增的 $g$ 必有 $E=F$。最后构造一个严格递减且固定3的 $g$，使 $E\ne F$，并求出这两个集合。

一个四元有理数集合产生的六个两两乘积各不相同，所有积为 $2,3,5,6,10,15$。列出原集合的全部可能，并计算其中四数总和的平方。

在闭区域 $1\le u\le v\le 3$ 上考察量 $4/u+v$。它的最大可能值比最小可能值大多少？

实参数 $t\ge 1$。分别把 $[1,t]$ 内的全部输入代入 $3x-2$ 和 $x^2$，输出集记为 $B_t,C_t$。求满足 $C_t\subseteq B_t$ 的参数集合。

实数 $c$ 要满足：每个使 $(x-2)(x-4)\le 0$ 成立的 $x$ 都有 $1/(x-5)<c$。求 $c$ 的取值集合。

对集合 $D\subseteq \mathbb{R}$，把内外两种归属编码成函数 $s_D$：属于 $D$ 时取2，否则取-2。现给 $A=\{1,3,5,7\}$、$B=\{3,4,7,8\}$。将满足 $s_A(x)s_B(x)=-4$ 的全部实数相加，结果是多少？

固定数表 $K=\{-1,0,2,4\}$。一个实数 $x$ 被保留，当且仅当 $-x$ 在表中而 $3-x^2$ 不在表中。求所有保留数的和。

允许系数取任意整数时，两种式子 $15r+10s$ 与 $25m+20n$ 各能生成哪些整数？直接构造表示式证明两个生成集合相同，不调用最大公因数定理。

八张不同卡片 $b_1,\dots ,b_8$ 的权值依次为 $1,2,4,\dots ,128$，一组选卡的编码等于其权值和。求选 $b_2,b_4,b_7$ 的编码；反过来，编码173对应哪组卡？空组选卡的编码为0。

某个三元实数集合 $Q$ 的两两和构成 $\{{\log }_{3}10,{\log }_{3}14,{\log }_{3}35\}$。若集合元素总和为 $s$，求 $3^s$。

五个位置各放一个正整数，允许不同位置放相同数。分别删掉一个位置，对其余四数求和；五个结果去重后为 $52,53,54,55$。求原来五数的和。

要使底数为 $a$ 的对数 ${\log }_a(4a-1)$ 有意义且大于1，$a$ 应落在哪些实区间？

将 $\{1,\dots ,600\}$ 的所有非空子集各写在一张卡上。每张卡的得分等于其最大元素加最小元素。求所有卡的总分。

给定正整数 $n$，子集 $T\subseteq \{1,\dots ,n\}$ 的权重是 ${\prod }_{j\in T}2/[j(j+3)]$。求所有非空子集的权重和。

遍历 $K=\{-1,0,2,3,5\}$ 的全部非空子集 $T$，每次记录“元素个数乘以元素之积”。求这些记录的总和。

将二次不等式 $x^2-tx-6\le 0$ 的解集记作 $R_t$。若解集中的每个数都属于 $(-3,5]$，实参数 $t$ 可以取哪些值？

方程 $t{x}^2+4x-3t=0$ 的每个实根都要位于闭区间 $[-3,2]$。求所有实参数 $t$，并保留方程退化为一次式的可能。

复数集合 $G$ 恰有六个非零元素，任意两元素相乘仍属于 $G$。其中已经包含 $1,-1,\omega$，$\omega =-1/2+(\sqrt{3}/2)i$。确定 $G$，并算出其六元素之积。

两个实数 $u,v$ 满足 $uv>0$，而数表 $u,4uv,{\log }_2(uv)$ 与数表 $0,4|u|,v$ 去掉顺序后是同一个三元集合。求 $u^{21}+v^{-21}$ 的全部可能结果。

从 $n$ 张各不相同的卡片中挑出两组，各组非空且没有重叠；未选卡可以留下，交换两组不另计。对整数 $n\ge 2$ 求方案总数，并给出 $n=8$ 的结果。

平面上给出 $C_1:x=y^2-2$、$C_2:y=2x^2+x+4$。直线 $y=kx+b$ 要同时避开两曲线；其中 $k,b$ 都是非负整数。求全部参数对。

由 $\sqrt{x-2}+1/\sqrt{8-x}$ 有意义的输入组成 $A$，由1到10的整数构成 $B$。先求 $B\setminus A$。再将 $[t,t+2]$ 外的实数全记入 $C_t$，求使 $A\cup C_t=\mathbb{R}$ 的 $t$。

在实平面内，$L_a$ 由满足 $(y-1)/(x-3)=a+2$ 的点组成，$M_a$ 由满足 $(a^2-4)x+(a-2)y=16$ 的点组成。分类求出所有令这两个点集互不相交的实参数 $a$。

全集 $U$ 有18个元素，$A,B\subseteq U$ 分别有8和7个元素，公共元素有3个。描述所有满足 $A\cap X=B\cap X=A\cap B$ 的 $X\subseteq U$，并计数。

对整数 $n\ge 3$，在 $\{1,\dots ,n\}$ 中选择非空的有序两组 $(A,B)$，每个 $A$ 元素都在每个 $B$ 元素之前，且两组边界之间至少空出一个整数。求方案数，即满足 $\max A+1<\min B$ 的集合对数量。

一个九元素集合 $S$ 的子集族 $F$ 要满足：不同成员总有公共元素，但没有元素出现在全族每个成员中。求 $|F|$ 的最大值，并给出达到它的子集族。

某个族 $F$ 含17个不同有限集合，并且成员两两取并仍是成员。若 $\{a,b,c\}$ 也是成员，且三个元素互异，证明其中至少一个元素出现在不少于6个成员中。

在 $U={\mathbb{R}}^2$ 中，$M$ 是分式 $(y+2)/[(x+1)(x-2)]$ 等于1的点集，$N$ 是满足 $y\ne x^2-x-4$ 的点集。求同时不属于 $M$、也不属于 $N$ 的两个点之间的距离。

$A$ 由使 $x^2-4x-12>0$ 的实数组成。闭区间 $B_t=[t-3,t+4]$ 中不在 $A$ 内的部分恰为 $[1,6]$。求 $t$。

把 $1,3,t$ 及它们的平方放入同一个集合 $C_t$，重复数只保留一次。若所有保留数的总和为14，求它们乘积的全部可能值，$t$ 为实数。

正整数 $a,b$ 要使实区间 $(b/5,a/4]$ 恰含整数 $3,4,5,6$，并满足 $a+b$ 为偶数。求这样的有序参数对数量。

将满足 $\sqrt{x+1}\le 2$ 的实数收进集合 $A$，再从中删去所有满足 $2^{x^2-2}=2^x$ 的数。剩余整数的和是多少？

非空闭区间 $I_t=[3t-4,5t-10]$ 要满足 $I_t\subseteq I_t\cap [-1,16]$。求实数 $t$ 的取值集合。

两条参数直线分别写成 $(x,y)=(2,-1)+s(1,2)$ 与 $(x,y)=(-1,4)+t(2,-1)$，参数 $s,t$ 各自取实数。对它们的唯一交点求 $x^2+y^2$。

从直线 $y=2x-4$ 中删去使 $(y+2)/(x-1)$ 无定义的点，所得点集记为 $M$。求所有让直线 $ax+3y+2a=0$ 避开 $M$ 的实数 $a$，并将这些参数相加。

有限全集中的子集 $A,B,C$ 大小为6、7、8，两两交集大小依次为 $|A\cap B|=3,|A\cap C|=2,|B\cap C|=4$，三重交集大小为1。用 $f_D$ 表示属于 $D$ 时为1、否则为0的函数。求使 $f_A+f_B+f_C-2f_{A\cap B}-2f_{A\cap C}-2f_{B\cap C}+4f_{A\cap B\cap C}=1$ 的元素个数。

用 $E^{\ast }$ 表示非空实数集 $E$ 的全部上界。已知 $C=(1,2)$、$D=(-\infty ,3)$。对每个 $b\in C^{\ast }$ 都要求 $a+b\in D^{\ast }$，求参数 $a$ 的全部可能值。

在整数1到35中删去两个不同数 $a<b$。余下整数和恰为 $ab+7$。求两个删去数的差。

一个数 $x$ 要让集合 $\{x,x+1\}$ 与 $\{1,{\log }_2(x+2)\}$ 的公共部分恰为单元素集 $\{x+1\}$。求所有可行实数 $x$ 的和。

六个不同元素记为 $u_1,\dots ,u_6$，全集记为 $U$。选有序三组 $(A,B,C)$，要求其并集为 $U$、前两组公共部分恰为 $\{u_1,u_2\}$，而只进入第三组的元素恰有两个。求方案数。

对每个非空 $T\subseteq \{1,\dots ,n\}$ 记录其最大、最小元素之差，称为跨度。将全部跨度相加，求关于正整数 $n$ 的公式。

使用整数1到100，组成尽可能多的互不重叠数对；每对有两个不同数，和都能被9整除。最多组成几对？

考察 $f(x)=2x+\sqrt{x^2-4x}$。求实定义域和完整值域，并说明值域的有限端点是否取到。

在所有合法实数输入上考察 $2\sqrt{x}+\sqrt{20-x}$。求输入范围、最小输出和最大输出，并分别给出达到极值的输入。

将平方差为整数的实数点 $(x,y)$ 全放入 $S$；将满足 $\sin (\pi x^2)-\sin (\pi y^2)=\cos (\pi x^2)-\cos (\pi y^2)$ 的实数点全放入 $T$。判断两集合是否存在单向包含，并给出依据。

称非空复数集对加、减、乘三种二元运算都封闭时，满足性质 $P$。判断四条断言并填出全部正确编号：①整数系数的 $a+b\sqrt{3}$ 全体满足 $P$；②非负整数全体满足 $P$；③满足 $P$ 的集合必含1；④两个满足 $P$ 的集合取交后仍满足 $P$。

实数 $a,b$ 使两个列举式 $\{a,b/a,1\}$ 和 $\{a^2,a+b,0\}$ 表示同一个三元集合。求 $a^{2019}+b^{2019}$。

当实数 $x\ne -1$ 变化时，$\sqrt{x^2+3}/(x+1)$ 能取到哪些值？