一试训练题

解答

（1）对任意整数 $k$，$k^2-(k-1{)}^2=2k-1$，故 $2k-1\in M$。

（2）整数平方模 $4$ 的余数只能是 $0$ 或 $1$，两个平方之差模 $4$ 只能为 $0,1,3$，不可能为 $2$。而 $4k-2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，故 $4k-2\notin M$。

（3）设 $p=x_1^2-y_1^2,q=x_2^2-y_2^2$，其中 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 均为整数。由

且右端两括号内均为整数，得到 $pq\in M$。