一试训练题

解答

记 $q(x)=x^2-ax+2a=x^2+a(2-x)$。若 $a\ge 0$，则 $x\in (-1,0)$ 时 $q(x)>0$，因而 $f(x)<0$，图象不经过第二象限。故必须有 $a<0$。 在 $a<0$ 时，$q(0)=2a<0$，所以在零点两侧充分接近 $0$ 处，$q$ 都为负。又 $q(x)\to +\infty$（$x\to +\infty$），正半轴上已能同时出现 $f$ 的正、负值。 在负半轴 $(-1,0)$，要再有 $q(x)>0$，必要且充分的是 $q(-1)=1+3a>0$。充分性来自连续性；若 $q(-1)\le 0$，由于二次函数 $q$ 凸，区间 $[-1,0]$ 内的函数值不超过两个端点值的较大者，不能为正。 所以四个象限都能经过当且仅当 $\boxed{-1/3<a<0}$。