培玉 · 一试
一试训练题
F3解答题经典的计数模型
对集合 的子集 ，若正整数 和 都是 的元素，则称 为 的一个“好数”。如果一个集合 有一个元素是“好数”，那么称 为“好集”。设 是某个“好集” 的一个“好数”。问：这样的子集 有多少个？
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
性质中含有集合的基数，先固定这个基数再计数。
思路
给定好数会强制两个不同元素同时入集，先由它们在母集中的范围限制基数，再从剩余元素补足；不同基数产生的集合天然不重合。
解答
令 。因为 是 的好数，
这里 ，且 ，所以 。对固定的 ，两个不同元素 已被选入，另外还须从其余 个元素中选取 个，共有 种。因此所求为
由 为奇数及二项式系数对称性，
答案或结论： 个。
复核
最小合法基数2只给集合 ，最大合法基数8则强制7与15入集，其余6元从13个数中选。固定好数7并不要求集合不能有其他好数，因此不能在补选时额外删掉那些还产生别的好数的集合。
方法总结
遇到元素条件与集合大小相互依赖，先按基数分层，锁定强制元素，再用组合数补足。分层的索引范围来自元素必须落在母集内；最后的二项式半和可用奇数行对称性，而不能无理由对全部子集除二。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先固定未知基数并识别两个随基数变化的强制元素，再对所有可行基数求和并用对称性化简。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：把对象唯一编码后分类计数、对称配对：和差分离
已记下，谢谢！