一试训练题

解答

由性质（1）可取正整数 $s,t$，使 $s,-t\in P$。反复使用加法封闭性，有 $ts,-st\in P$，故 $0=ts-st\in P$。

现反设 $2\in P$。由性质（2）可取奇数 $p\in P$。取充分大的正整数 $m$，使 $q=p-2mt<0$。因为 $-2mt$ 是 $-t$ 的正整数倍，故 $q\in P$，并且 $q$ 为负奇数。 若 $q=-1$，直接矛盾；若 $q\le -3$，把 $q$ 与 $(-1-q)/2$ 个 $2$ 相加，仍得到 $-1\in P$，也与性质（3）矛盾。因此 $2\notin P$。

所求为 $\boxed{0\in P,2\notin P}$。