竞赛公式速查字典

适用于 $A,B,C$ 均为有限集合的情形；对 $n$ 个有限集合 $A_1,\dots ,A_n$，一般形式为 $\left|{\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right|={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{\sum }_{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|$。

当 $A,B,C$ 两两不相交时，所有交集项均为 $0$，退化为加法原理 $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|$；由非负性 $|A\cap B\cap C|\ge 0$ 可得交集下界 $|A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A|\ge |A|+|B|+|C|-|A\cup B\cup C|$。易错警示：求“恰属于两个集合”的元素个数时应减去 $3|A\cap B\cap C|$，而非减去 $1$ 倍。

集合运算要求 $A,B\subseteq U$；命题否定要求保持论域 $x\in M$ 不变，仅将全称量词 $\forall$ 与存在量词 $\exists$ 互换并否定结论谓词 $p(x)$。

对偶形式为 ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$ 以及 $\neg (\exists x\in M,p(x))⟺\forall x\in M,\neg p(x)$；同时“$p\Rightarrow q$”等价于对应特征集合满足 $P\subseteq Q$。易错警示：取否定时切勿把限制条件 $x\in M$ 一并否定为 $x\notin M$，且含参区间 $A=[a,2a-1]\subseteq B$ 讨论时不能漏掉 $a>2a-1$ 即 $A=\varnothing$ 的退化分支。

$S$ 为 $n$ 元有限集（元素满足互异性）；此处 $(A,B)$ 区分前后次序（当 $A\ne B$ 时 $(A,B)$ 与 $(B,A)$ 计为两对）。

对每个元素 $x\in S$ 独立赋予状态：在 $A\subseteq B$ 中，每个元素仅有 $x\in A\cap B$、$x\in B\setminus A$、$x\notin B$ 三种互斥状态，故共有 $3^n$ 对；若要求无序子集对 $\{A,B\}$ 满足 $A\cup B=S$，则唯有 $A=B=S$ 这一对被计数 $1$ 次，其余被计数 $2$ 次，故无序对数为 $\frac{3^n+1}{2}$。

定义域 $D$ 必须关于 $x=a$ 对称（即 $x\in D⟺2a-x\in D$）。

等价代换形式：$f(x)=f(2a-x)$（关于 $x=a$ 轴对称）与 $f(x)+f(2a-x)=2b$（关于 $(a,b)$ 中心对称）；特别地，若 $a\in D$ 且关于 $(a,b)$ 中心对称，必有 $f(a)=b$。易错警示：方程 $f(a+x)=f(b-x)$ 的对称轴是自变量和的一半 $x=\frac{a+b}{2}$，而非 $x=a-b$；两个不同函数 $y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 的图像关于 $x=\frac{b-a}{2}$ 对称，勿与同一函数自身的对称轴混淆。

函数 $f$ 的定义域为 $\mathbb{R}$（或对平移 $2(b-a)$ 封闭的集合），且 $a\ne b$。

同理，若图像同时关于两个不同点 $(a,c_1)$ 与 $(b,c_2)$ 中心对称，则 $f(x+2(b-a))=f(x)+2(c_2-c_1)$；仅当 $c_1=c_2$（两中心纵坐标相同）时，$T=2|b-a|$ 才是 $f(x)$ 的周期。易错警示：一轴一中心合成的是四倍间距周期 $4|b-a|$，切勿误记为 $2|b-a|$。

定义域 $D$ 对映射 $g$ 封闭（$x\in D⟹g(x)\in D$），对任意 $x\in D$ 有 $g(g(x))=x$，且系数满足 ${\alpha }^2-{\beta }^2\ne 0$。

当 ${\alpha }^2={\beta }^2$ 时方程组退化，解不唯一，此时 $h(x)$ 必须满足相容性条件 $\alpha h(x)=\beta h(g(x))$；若 $g$ 是三阶循环映射 $g^{(3)}(x)=x$（如 $g(x)=\frac{1}{1-x}$），则需连续代换两次联立三元线性方程组求解。

所有对数真数严格大于 $0$，所有底数严格大于 $0$ 且不等于 $1$；幂次换底要求 $m\ne 0$ 且当 $m,n$ 为偶数时需注意原变量正负。

特例：当 $c=a$ 时得互为倒数恒等式 ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$。易错警示：做对数拆分 ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ 或偶次幂降次 ${\log }_a(x^2)=2{\log }_a|x|$ 时，必须保留绝对值或先核验 $x>0,y>0$，否则会缩小或扩大原方程的定义域。

指数不等式对一切 $x\in \mathbb{R}$ 成立；对数双向不等式要求 $x>0$。

两个不等式的取等条件均为当且仅当 $x=0$（指数式）与 $x=1$（对数式）；在 $x>0$ 时还可推广为更紧的飘带不等式：当 $x>1$ 时 $\frac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\frac{x^2-1}{2x}$，当 $0<x<1$ 时反向。在比较无理幂指对大小时，常取接近 $1$ 的比值代入此式完成估值。

二次项系数 $a\ne 0$，$a,b,c\in \mathbb{R}$，$m<n$。若要求两根分别严格位于定值 $k$ 的两侧（$x_1<k<x_2$），则充要条件简化为单条不等式 $af(k)<0$（此时必有 $\Delta >0$，无需另算对称轴）；若端点 $m$（或 $n$）恰为零点（如 $f(m)=0$），由于开区间 $(m,n)$ 不含端点，方程在 $(m,n)$ 内有单根当且仅当另一根 $x_2=-\frac{b}{a}-m$ 严格落在 $(m,n)$ 内（即 $m<-\frac{b}{2a}<\frac{m+n}{2}$）。

重根、开闭区间与端点退化辨析：① 当 $\Delta =0$ 时两根重合于对称轴 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$，属于“一重位置、二重代数根”；② 若改为闭区间 $[m,n]$，则“两根均在 $[m,n]$ 内”必须同时将端点与对称轴放宽为 $\Delta \ge 0,m\le -\frac{b}{2a}\le n,af(m)\ge 0,af(n)\ge 0$（以包含二重根恰落在端点 $m$ 或 $n$ 的情形）；③ 切勿用 $f(m)f(n)\le 0$ 作为开区间 $(m,n)$ 内有根的判据（如 $f(x)=x(x-2)$ 在 $[0,1]$ 端点满足 $f(0)f(1)=0$，但在 $(0,1)$ 内无根；而 $f(x)=x(x-1/2)$ 虽满足 $f(0)=0$，因另一根 $1/2\in (0,1)$ 故在 $(0,1)$ 内恰有一单根）；讨论“方程在 $(m,n)$ 内至少有一实根”时，须将“在 $(m,n)$ 内恰有一单根”与“两根（含二重根）均在 $(m,n)$ 内”两类互斥情形取并集。

$x\in \mathbb{R}$，$n$ 为任意正整数。

$\lfloor x\rfloor =x⟺x\in \mathbb{Z}$；对任意 $x,y\in \mathbb{R}$ 有超可加性 $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$，左边取等当且仅当 $\{x\}+\{y\}<1$。易错警示：负数的整数部分与小数部分必须按向下取整计算，如 $\lfloor -1.3\rfloor =-2,\{-1.3\}=0.7$，切勿误写为 $-1$ 与 $-0.3$。

首项系数 $a\ne 0$；当在实数域内讨论两根距离 $|x_1-x_2|$ 或实根函数最值时，必须联立判别式条件 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$。

当 $\Delta =0$ 即 $b^2=4ac$ 时两根重合 $x_1=x_2=-b/(2a)$，此时 $|x_1-x_2|=0$；用韦达定理求含参表达式如 $x_1^2+x_2^2$ 的最小值时，极值往往在判别式边界 $\Delta =0$ 处取得而非无约束二次函数顶点。

分母 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒不为零（即 $a_2\ne 0$ 且 $b_2^2-4a_2{c}_2<0$），且分子分母无非常数公因式。

当 $a_{2}y-a_1\ne 0$ 时，$y$ 属于值域当且仅当 ${\Delta }_x\ge 0$，且 ${\Delta }_x=0$ 对应极值点 $x=-\frac{b_{2}y-b_1}{2(a_{2}y-a_1)}$；当 $a_{2}y-a_1=0$ 即 $y=\frac{a_1}{a_2}$ 时，若一次项系数 $b_{2}y-b_1\ne 0$，该值亦可由一次方程取到。易错警示：若自变量 $x$ 受区间限制（如 $x\in [m,n]$）或分子分母可约分，直接用 ${\Delta }_x\ge 0$ 会把区间外的虚设极值混入值域，此时应改用分离常数与对勾函数 $t+\frac{k}{t}$ 单调性求解。

$x\in [b,a]$（$a>b$），两被开方式之和为定值 $(a-x)+(x-b)=a-b$。

由 $f(x{)}^2=(a-b)+2\sqrt{(a-x)(x-b)}$，当且仅当 $x=a$ 或 $x=b$ 时乘积为 $0$，取到最小值 $\sqrt{a-b}$；当且仅当 $a-x=x-b$ 即中点 $x=\frac{a+b}{2}$ 时，取到最大值 $\sqrt{2(a-b)}$。更一般地，对 $\alpha \sqrt{a-x}+\beta \sqrt{x-b}$（$\alpha ,\beta >0$），可令 $x=b+(a-b){\cos }^2\theta$（$\theta \in [0,\pi /2]$），化为 $\sqrt{a-b}(\alpha \sin \theta +\beta \cos \theta )$，最大值为 $\sqrt{({\alpha }^2+{\beta }^2)(a-b)}$。

圆型约束 $x^2+y^2=R^2$ 要求完整覆盖或按象限限制 $\theta$ 的范围；双曲线型约束 $x^2-y^2=a^2$ 采用有理参数化 $(t+t^{-1},t-t^{-1})$ 时，$t>0$ 精确对应右支 $x\ge a,y\in \mathbb{R}$。

圆换元下线性目标 $ux+vy$ 在 $(\cos \theta ,\sin \theta )\Vert (u,v)$ 时取最值 $\pm R\sqrt{u^2+v^2}$；双曲线右支换元下 $t=1$ 对应顶点 $(a,0)$。

在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上无须任何附加分析条件即可由归纳法得 $f(x)=cx$；在实数域 $\mathbb{R}$ 上，需附加“连续、单调、在某区间有界或保号（$x>0⟹f(x)\ge 0$）”之一，方可排除病态非线性解。

对乘性方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$，若不恒为 $0$，则由 $f(x)=f(x/2{)}^2\ge 0$ 及 $f(0)=1$ 自动保正，取对数 $\ln f(x)$ 即化归为加性方程。易错警示：验证函数方程时切勿漏掉常值平凡解 $f(x)\equiv 0$（以及幂型方程中的 $f(x)\equiv 1$），若题设含 $f(1)\ne 0$ 方可删去零解。

$c\ne 0,ad-bc\ne 0$，且在每次迭代中分母均不为零；当不动点方程有两个相异根 $\alpha \ne \beta$ 时用等比型公式。

特例与退化：① 当 $a+d=0$（迹为 $0$）时，$q=-1$，$f(f(x))=x$ 为二周期对合函数；② 当 $(a+d{)}^2=ad-bc$ 或 $(a+d{)}^2=3(ad-bc)$ 时，$f$ 分别为三周期或六周期函数；③ 当不动点重合（$\alpha =\beta$）时，改用等差倒数形式 $\frac{1}{f(x)-\alpha }=\frac{1}{x-\alpha }+\frac{2c}{a+d}$。

定义域 $D$ 必须在对合映射 $g$ 下封闭（即 $x\in D⟺g(x)\in D$），且系数满足 $a^2-b^2\ne 0$。

当 $a=b$ 或 $a=-b$ 时方程组退化，此时不能唯一解出 $f(x)$，而只给出 $h(x)$ 必须满足的对称/反对称相容性条件 $h(g(x))=\pm h(x)$。

左式对任意实数（或复数、向量）成立；右式折线极值要求权重均为 $1$ 且零点已满足 $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$。

取等条件：$|a+b|=|a|+|b|⟺ab\ge 0$；$|a-b|=|a|+|b|⟺ab\le 0$；$|a+b|=||a|-|b||⟺ab\le 0$。对绝对值和 $S(x)={\sum }_{i=1}^n|x-a_i|$：当 $n=2m-1$ 为奇数时，唯有中位数 $x=a_m$ 取到最小值；当 $n=2m$ 为偶数时，闭区间 $x\in [a_m,a_{m+1}]$ 上任意一点均取到同一最小值。

在实数域 $\mathbb{R}$ 内求解；高次因式分解 ${\prod }_{i=1}^k(x-r_i{)}^{m_i}\ge 0$ 使用穿针引线法时，需先将各因式首项系数化为正数。

在穿针引线法（符号表法）中，从右上方开始穿根，遵循“奇穿偶回”：重数 $m_i$ 为奇数时跨过 $r_i$ 变号，$m_i$ 为偶数时不跨轴不变号。易错警示：① $\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0$ 绝不能漏掉分母 $Q(x)\ne 0$；② 含偶次重根 $(x-r{)}^{2k}$ 时，严格不等式 $>0$ 必须挖去点 $x=r$，非严格不等式 $\le 0$ 必须单独补回孤立解 $x=r$；③ 解 $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 绝不可直接平方，否则会漏掉 $g(x)<0$ 且 $f(x)\ge 0$ 的整段解集。

对数型不等式必须先列出所有真数严格大于零的隐含定义域 $u>0,v>0$ 及底数条件 $a>0,a\ne 1$，在此定义域内才能将对数差化为 $(a-1)(u-v)$ 的有理穿根形式。

当且仅当 $u=v$（且 $u,v>0$）时 ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ 且 $a^u=a^v$；注意 $a=1$ 不在合法对数底数范围内，含参底数必须检验 $a=1$ 是否被排除。

调和平均（HM）要求 $a_i>0$；无权算术-几何-平方平均（GM-AM-QM）对 $a_i\ge 0$ 成立；加权算术-几何均值不等式除要求 $a_i>0$ 外，权重必须满足非负与归一化条件 $w_i\ge 0$ 且 ${\sum }_{i=1}^n{w}_i=1$（若未归一化直接代 $w_i>0$ 会导致不等式失真，如 $n=1,a_1=2,w_1=3$ 时左端 $6<8=2^3$）。

无权均值链中每一处不等号取等的充要条件均为 $a_1=a_2=\cdots =a_n$；加权 AM-GM 当全体权重严格为正（$w_i>0$ 且 ${\sum }_{i=1}^n{w}_i=1$）时，取等当且仅当全体变量相等 $a_1=a_2=\cdots =a_n$（若含零权重 $w_i=0$，则取等当且仅当所有正权下标 $\{i\mid w_i>0\}$ 对应的 $a_i$ 彼此相等）。易错警示：使用拆项配权（待定系数）时，必须先将权重归一化并根据预判取等点求出正权重使各项比例一致，且分步使用均值不等式时必须检验所有等号条件能否被同一组可行变量同时满足。

整式柯西不等式对一切实数 $a_i,b_i\in \mathbb{R}$ 恒成立（其精确差为拉格朗日恒等式 ${\sum }_{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$）；分式形式及更一般的权方和 $\sum \frac{u_i^{m+1}}{v_i^m}\ge \frac{(\sum u_i{)}^{m+1}}{(\sum v_i{)}^m}$（$u_i,v_i>0,m>0$）严格要求所有分母 $v_i>0$。

整式柯西取等当且仅当两向量线性相关（即 $b_i=0$ 或存在实常数 $\lambda$ 使 $a_i=\lambda b_i$ 对所有 $i$ 成立）；分式柯西取等当且仅当 $\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=\cdots =\frac{u_n}{v_n}$（注意此处比值需同号，若分子带绝对值则可异号）。

两步不等式的前提须严格区分：① 权重非负且归一化 $p_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$，自变量 $x_1,\dots ,x_n\in I$（未归一化时不等式失真，如 $f(x)=x^2,n=1,p_1=2,x_1=1$ 会得出 $2\ge 4$）；② 第一处不等号（加权 Jensen）要求 $f$ 在整个区间 $I$ 上为凸函数；若采用二阶导数判据 $\forall x\in I,f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 证明凸性，则必须以 $f$ 在区间 $I$ 上二阶可导为前提；③ 第二处不等号（切线支撑放缩）显式使用了导数 $f^{\prime }(x_0)$，除 $f$ 在 $I$ 上凸且 $x_0\in I$ 外，必须额外要求 $f$ 在切点 $x_0$ 处一阶可导（即 $f^{\prime }(x_0)$ 存在；若 $f$ 在 $I$ 上一阶或二阶可导则自动满足）——若 $f$ 仅在 $I$ 上凸但在 $x_0$ 处不可导（反例：$I=[-1,1],f(x)=|x|,x_0=0$ 时左、右导数分别为 $-1$ 与 $1$，$f^{\prime }(0)$ 无定义），则不能直接写 $f^{\prime }(x_0)$，须改取次梯度/支撑斜率 $k\in [f_{-}^{\prime }(x_0),f_{+}^{\prime }(x_0)]$ 写支撑线不等式 $f(x)\ge f(x_0)+k(x-x_0)$。若 $f$ 在 $I$ 上非全局凸（含拐点）但切点 $x_0$ 处可导，则不可用 Jensen，须改用切线法直接验证局部不等式 $f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 在全部可行域 $x\in I$ 上是否恒成立。

分项取等条件：① 当 $f$ 在区间 $I$ 上严格凸（若 $f$ 在 $I$ 上二阶可导，其充分条件为 $\forall x\in I,f^{\prime \prime }(x)>0$，或仅孤立点处 $f^{\prime \prime }(x)=0$）且全体权重严格为正（$p_i>0,{\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$）时，第一处 Jensen 不等号取等当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n$（若含零权重，则仅约束 $p_i>0$ 对应的那些 $x_i$ 相等）；② 当 $f$ 在 $I$ 上严格凸且在 $x_0\in I$ 处可导时，第二处切线支撑不等号取等当且仅当加权均值 ${\sum }_{i=1}^n{p}_i{x}_i=x_0$；两者同时取等当且仅当（在 $p_i>0$ 下）$x_1=\cdots =x_n=x_0$。若非全局凸的可导函数在边界处也有取等（如 $f(x)-[f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)]=(x-x_0{)}^2(x-x_1)\ge 0$），切线法通过因式分解可同时覆盖中心二重切点 $x_0$ 与边界零点 $x_1$。

排序不等式对任意两组有序实数 $a_1\le \cdots \le a_n$、$b_1\le \cdots \le b_n$ 成立（即“反序和 $\le$ 乱序和 $\le$ 顺序和”）；舒尔不等式要求 $a,b,c\ge 0$ 且 $r>0$（当 $r$ 为偶数时对全体实数 $a,b,c\in \mathbb{R}$ 成立）。

排序不等式当两组数严格递增时，上界取等当且仅当 $\sigma$ 为恒等置换，下界取等当且仅当 $\sigma (i)=n+1-i$；三元一次舒尔（$r=1$）等价于 $a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$，用 $s,p,q$ 写为 $s^3-4sp+9q\ge 0$（即 $q\ge \frac{4sp-s^3}{9}$），取等当且仅当 $a=b=c$，或其中两数相等且第三数为 $0$（如 $(a,b,c)=(1,1,0)$ 的轮换）。