不等式的证明 · 学习路线

从一个界，到能取到的最值

先试一道自编小题，再看想法怎样产生。每次估计都问两句：条件允许这样做吗？等号能在原题里成立吗？

会记住你看到哪里，下次接着看。

1. 先试一题

卡住了，给我一点提示

两个加数都为正，乘积却始终是 $16$ 。什么工具能把定积转成和的下界？

想好后，在纸上写出取等条件，再看下一步。这里的自编小题不计入真题做对率。

2. 看想法怎样产生

每次只展开一段。先说出你自己的下一步，再对照。

读条件：先确认能用什么

$x > 0$ ，所以 $x$ 与 $16/ x$ 都为正。目标是两项的和，乘积 $x \cdot 16/ x = 16$ 固定；这正是基本不等式适用的结构。

做估计：把变化的两项配成定积

由基本不等式， $x + 16/ x \geq 2 x \cdot 16/ x = 8$ 。这只证明了一个下界；此时还不能停笔。

查等号：把位置放回原条件

等号要求 $x = 16/ x$ ，即 $x^{2} = 16$ 。结合 $x > 0$ 得 $x = 4$ ，且 $4 + 16/4 = 8$ 。所以最小值是 $8$ ，当且仅当 $x = 4$ 取得。

换条路复核，再提炼方法

直接作差： $x + 16/ x - 8 = (x - 4)^{2} / x \geq 0$ ，等号仍是 $x = 4$ 。以后看到正数互反项相加，先检查乘积是否固定；得到界以后，一定再核对取等位置。

动一动条件：等号位置还在吗？

现在给同一个式子增加条件

x \geq m

，其中

1 \leq m \leq 8

。拖动下界，看看

x = 4

何时还在允许范围内。允许范围的下界 m：1

4原等号位置

x ≥ 1：x = 4 仍合法，最小值为 8。

为什么？用代数说明所有情形

当 $m \leq 4$ 时， $x = 4$ 仍合法，最小值是 $8$ 。当 $m > 4$ 且 $x \geq m$ 时， $x + 16/ x - (m + 16/ m) = (x - m) (x - 16/ m) / x \geq 0$ ，因为 $x \geq m > 4 > 16/ m$ 。所以最小值是 $m + 16/ m$ ，在 $x = m$ 取得。观察只帮助猜测，恒成立需要这一步代数证明。

3. 辨清条件

4. 换题试一试

先在纸上写出过程。这里不标方法名，试着自己认出结构；提示与解答都按需展开。

1. 换一种系数

设

u > 0

，求

2 u + 8/ u

的最小值及取等条件。

给我一个方向

把两个完整的加数当成一组，重新求乘积与取等位置。

写完了，对照证明与取等条件

$2 u + 8/ u \geq 2 2 u \cdot 8/ u = 8$ 。等号要求 $2 u = 8/ u$ ，结合 $u > 0$ 得 $u = 2$ 。也可作差 $2 u + 8/ u - 8 = 2 (u - 2)^{2} / u \geq 0$ 。最小值为 $8$ ，当且仅当 $u = 2$ 取得。

方法可以迁移，取等位置要按新的系数重算。

2. 换一个允许范围

设

x \geq 6

，求

x + 16/ x

的最小值，并用不等式证明。

给我一个方向

原来的取等位置已经不合法。先代入新的边界，再尝试证明目标式不低于这个候选值。

写完了，对照证明与取等条件

$x = 6$ 时，目标式为 $6 + 16/6 = 26/3$ 。对 $x \geq 6$ ， $x + 16/ x - 26/3 = (x - 6) (3 x - 8) / (3 x) \geq 0$ ，因为分母为正，两个因式均非负。等号当且仅当 $x = 6$ 。因此最小值是 $26/3$ 。

估计没有失效，失效的是原等号的可行性；需要重新找尖锐的界。

3. 换个外形认结构

设

a, b > 0

且

a + b = 10

，求

a^{2} + b^{2}

的最小值及取等条件。

给我一个方向

这里固定的是和。先把平方和写成一个定值加一个非负平方。

写完了，对照证明与取等条件

$a^{2} + b^{2} = ((a + b)^{2} + (a - b)^{2}) /2 = 50 + (a - b)^{2} /2 \geq 50$ 。等号要求 $a = b$ ，结合 $a + b = 10$ 得 $a = b = 5$ ，符合正数条件。因此最小值是 $50$ 。

外形变了，仍在用“非负差给界，再检查等号”的结构。不要只凭互反项的外观认方法。

5. 接着练真题

选一道真题独立做，再逐渐加难。进入题页后会先收起方法线索；完成并保存作答或自评后，站点才会安排复习。

按需查阅：知识要点 · 方法卡 · 全部分级真题。完成真题后，可到今日练习查看复习安排。