必修第一册 · 第 2 章一元二次函数、方程和不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

一条抛物线，同时回答三个问题：方程 $ax^2+bx+c=0$ 有哪些根，不等式 $ax^2+bx+c>0$（或 $<0$）在哪里成立。看图读答案，比背表格可靠。这里 $a\ne0$；二次项系数为零时另按一次式或常数处理。先从抛一个球的简化模型开始。

用一个竖直抛球的简化模型：从抛出开始，观察 $0\le t\le4$，$t$ 秒后的高度是 $h=4t-t^2$（米）。点下面不同时刻 $t$（或直接点图上的圆点），看小球高度和抛物线怎么对应：

下面哪一刻，球正好落回地面？

代进去算：$t=1$ 时 $h=3$，$t=2$ 时 $h=4$，$t=3$ 时 $h=3$，$t=4$ 时 $h=16-16=0$。D。

“落地”就是 $h=0$，也就是方程 $4t-t^2=0$，即 $t(4-t)=0$，根是 $0$（刚抛出）和 $4$（落地）。“在空中”就是 $h>0$，也就是不等式 $4t-t^2>0$，答案是 $0<t<4$。

把 $h$ 随 $t$ 的变化画出来是一条开口向下的抛物线：和横轴交在 $0$ 和 $4$，中间拱在横轴上方。方程的根看交点，不等式的解看上方还是下方——这一节就讲这件事。

1. 先认识几个词：从“抛物线浮沉”建立直觉

要用到：初中的二次函数图象（开口方向、与 $x$ 轴交点）和因式分解；集合的写法（回看 1.1）；2.1 的不等式性质，两边乘负数要反向（回看 2.1）。先看下面这幅微图解：

直觉微图解 ①开口向上（$a>0$）时：抛物线浮沉与判别式 $\Delta$

核心概念 ②零点是实数，不是坐标点！

让函数值 $y=0$ 的那个自变量 $x$ 叫零点，它是一个实数（如 $x=-1$ 和 $x=2$）；图象经过的 $(-1,0)$ 和 $(2,0)$ 叫与 $x$ 轴的交点，零点是交点的横坐标！

核心概念 ③口诀“大于取两边、小于取中间”前提是 $a > 0$

只有开口向上时，水上部分才在两边展翅、水下部分才在谷底凹槽。若 $a<0$，可直接按开口向下的图象读正负，也可以两边同乘 $-1$、不等号反向后再用开口向上的规则。

2. 一个二次三项式，三种角色合一

设 $a>0$，并且 $\Delta=b^2-4ac>0$，有两个不同实根 $x_1<x_2$，三个问题一张图看清：

前提：$a>0$，$\Delta=b^2-4ac>0$，两个不同实根按 $x_1<x_2$ 排列。

$ax^2+bx+c = 0$：找水面交点（实根 / 零点）。

$ax^2+bx+c > 0$：水上两侧，
$x < x_1$ 或 $x > x_2$。

$ax^2+bx+c < 0$：水下凹槽，
$x_1 < x < x_2$。

例 1（看一遍怎么写）

求方程 $2x^2-3x-2=0$ 的实根、函数 $y=2x^2-3x-2$ 的零点，以及图象和 $x$ 轴的交点。

因式分解：$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$。令它等于 $0$，得 $x=-\dfrac12$ 或 $x=2$。

所以方程的实根是 $-\dfrac12$ 和 $2$；函数的零点也是 $-\dfrac12$ 和 $2$；图象和 $x$ 轴交于 $\left(-\dfrac12,0\right)$ 和 $(2,0)$。

自己试试：函数 $y=x^2-4x+3$ 的零点是？

B。$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，$x=1$ 和 $x=3$ 时函数值是 $0$。选 A 的同学写成了交点，零点是交点的横坐标，是实数。C 是和 $y$ 轴的交点；D 是 $y<0$ 的解集。

“一侧一直上升”：开口向上的抛物线在顶点右边越来越高，这里靠初中的图象知识就够用；严格的说法（单调性）在第 3 章。

3. 开口向上标准解法：三步破题思维链

例 2（示范：跟老师走一遍思考过程）

解不等式 $x^2-x-6\ge0$。

👀 看到什么 → 想什么：

问二次不等式解集 → 先看开口方向和不等号，再找两个根。
根把数轴分成三段 → 用区间符号表逐段判号，端点是否取到由不等号决定。

🔧 第二步因式分解求根： $x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0 \implies$ 两根为 $x_1=-2, x_2=3$。

🛡️ 第三步读图写出解集（带等号）：开口向上，“$\ge0$”取两根外侧，两个有限端点取到，解集为 $\{x\mid x\le-2\text{ 或 }x\ge3\}$，即 $(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$。

自己试试：不等式 $x^2-5x+4<0$ 的解集是？

A。$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$，两根 $1$ 和 $4$，“$<0$”取中间，根不要。选 D 的同学把根的符号弄反了：$x-1=0$ 得 $x=1$，不是 $-1$。选 B 是读成了“$>0$”，选 C 是多要了端点。

根不是整数时：$x^2-2x-1<0$ 不能分成两个整系数一次因式，可以用求根公式：$\Delta=4+4=8$，根 $x=\dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$。开口向上取中间，解集 $(1-\sqrt2,1+\sqrt2)$。

4. 开口向下：两步化归法则

例 3（示范：跟老师走一遍思考过程）

解不等式 $-2x^2+x+1\ge0$。

👀 看到什么 → 想什么：

二次项系数为负且要求不等式解集 → 先标出开口向下，再按“上方取中间、下方取两边”判区间。
不等号带等号 → 两个根都要检查是否纳入解集。

🔧 第二步同乘 -1 变向（化归为标准型）：两边同乘 $-1$，不等号反向：$2x^2-x-1\le0$。

🛡️ 第三步因式分解取中间： $(2x+1)(x-1)\le0$，两根 $-\dfrac12$ 和 $1$。标准型开口向上，“$\le0$”取中间，解集为 $\left[-\dfrac12,1\right]$。

自己试试：不等式 $-x^2+2x+8>0$ 的解集是？

A。乘 $-1$ 得 $x^2-2x-8<0$，即 $(x+2)(x-4)<0$，取中间 $-2<x<4$。选 B 的同学乘了 $-1$ 却忘了把“$>$”改成“$<$”。代 $x=0$ 检查：$8>0$，$0$ 应该在解集里，B 里没有它。

自己试试：不等式 $x^2+2x+1<0$ 的解集是？

A。$x^2+2x+1=(x+1)^2\ge0$，永远不会小于 $0$。选 B 的同学把“$<0$”当成了“$\le0$”：$x=-1$ 时值是 $0$，不满足“小于”。D 是“$>0$”的答案。

重根与无实根的边界：设 $a>0$。若 $\Delta=0$，令重根为 $x_0$，则 $f(x)=a(x-x_0)^2$：$f<0$ 无解，$f\le0$ 只取 $x_0$，$f>0$ 取 $\mathbf R\setminus\{x_0\}$，$f\ge0$ 取全体实数。若 $\Delta<0$，则恒有 $f>0$。

若 $a<0$，上述正负相反；严格不等号仍不能包括函数值为零的位置。若 $a=0$，不能再用二次函数的判别式规则。

5. 用之前必查：三大高频翻车现场

翻车现场 ①二次项系数含字母，漏查 $a=0$

❌ 典型错解：解不等式 $mx^2+x-2>0$，直接当成二次不等式计算判别式 $\Delta$。

✅ 一眼看清真相：$m$ 正负与是否为零未知！若 $m=0$，原不等式退化为一次不等式 $x-2>0 \implies x>2$，图象是一条直线而非抛物线，必须单独拉出 $m=0$ 讨论！

翻车现场 ②开口向下盲目套“大于取两边”

❌ 典型错解：解 $-x^2+1>0$，不看系数直接背口诀写成 $x<-1\text{ 或 }x>1$。

✅ 一眼看清真相：代入 $x=2$ 得 $-3>0$ 当场穿帮！开口向下时中间拱在水上，也可两边同乘 $-1$、不等号反向，化成 $x^2-1<0$，解得 $(-1,1)$。

翻车现场 ③（高考最高频！）恒成立问题把 $\Delta$ 符号弄反

❌ 典型错解：以为“$ax^2+bx+c > 0$ 对一切 $x$ 恒成立”要求判别式 $\Delta > 0$。

✅ 看右图秒懂真相：恒大于零意味着整条抛物线高悬在水面上方，和水面一个交点都不能有！因此需同时有 $a>0$ 与 $\Delta<0$；只看判别式符号还不够。

再深一点（可以先跳过）

如果 $ax^2+bx+c>0$ 的解集恰为 $(-1,2)$，你能判断开口方向、两根和因式形式吗？这些信息能唯一确定 $a$ 吗？

展开思路与核对

从解集倒推：如果 $ax^2+bx+c>0$ 的解集是 $(-1,2)$，“$>0$”取了中间，说明开口向下 $a<0$，并且 $-1$、$2$ 是两根，所以 $ax^2+bx+c=a(x+1)(x-2)$。

只能确定 $a<0$，不能唯一确定其大小。

$(x+1)(x-3)<0$ 时，两因式有哪两种异号组合？为什么其中一种不可能？

展开思路与核对

另一种看法：符号：$(x+1)(x-3)<0$ 要求两个因式一正一负。若 $x+1<0$ 且 $x-3>0$，则同时要求 $x<-1$ 和 $x>3$，不可能。因此只能 $x+1>0$ 且 $x-3<0$，得 $-1<x<3$，和读图的答案一样。

① 拖抛物线，看根和解集

拉滑块改 $a,b,c$；也可以直接拖图上的顶点（键盘：先按 Tab 选中，再用方向键）。点下面四个按钮切换不等号，图上 $x$ 轴的高亮段就是解集。实心点 ● 表示根在解集里，空心点 ○ 表示不在。

$a$ $b$ $c$

试试：

② 进阶：含参数，什么时候对一切 $x$ 都成立

看 $f(x)=mx^2-mx+1$。拉 $m$（选中滑块后也能用方向键），看抛物线是不是整条在 $x$ 轴上方。红色是 $f(x)\le0$ 的地方，有红色就说明“$f(x)>0$ 对一切 $x$ 成立”不对。特别看看 $m=0$ 和 $m=4$。

$m$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 不等式 $x^2+x-12\le0$ 的解集是？

A。$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$，两根 $-4$ 和 $3$。开口向上，“$\le0$”取中间，根也要。选 B 漏了端点；选 C 读到了上方；选 D 是根的符号弄反了。

2. 关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+k=0$ 没有实根，$k$ 的取值范围是？

A。没有实根就是 $\Delta<0$：$(-2)^2-4k=4-4k<0$，得 $k>1$。选 C 的同学把 $k=1$ 也算进来了：那时 $\Delta=0$，方程是 $(x-1)^2=0$，有一个重根 $1$。B、D 是有实根的情形。

易错

3. 不等式 $-x^2+x+2>0$ 的解集是什么？（提示：$-x^2+x+2=0$ 的两个根是 $-1$ 和 $2$。）

B。卡在“开口朝哪”：$x^2$ 前面是 $-1$，开口向下，中间拱在 $x$ 轴上方，两边掉到下方，所以“大于 0”在两根中间。代 $x=0$：$2>0$，确实成立。

选 A 的同学背了“大于取两边”，这句话只在开口向上时对。稳妥的做法是先乘 $-1$、不等号反向，变成 $x^2-x-2<0$ 再读。选 D 是把不等式和方程弄混了：$-1$ 和 $2$ 让式子等于 0，恰恰不满足“大于 0”。

4. 不等式 $x^2-4x+4>0$ 的解集是？

C。卡在“根要不要”：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$\Delta=0$，抛物线在 $x=2$ 处碰到 $x$ 轴又回到上方——重根处不变号。除了 $x=2$ 那一点值是 0，其余地方都大于 0。B 是“$\ge 0$”的答案；D 是“$\le0$”的答案。在“动手”①里点“重根”，再把四个不等号点一遍。

5. 一块长方形菜地，长比宽多 $2$ 米，面积至少 $8$ 平方米。设宽为 $x$ 米，$x$ 的取值范围是？

A。卡在“实际问题取交集”：$x(x+2)\ge8$，即 $x^2+2x-8\ge0$，$(x+4)(x-2)\ge0$，解得 $x\le-4$ 或 $x\ge2$。宽是长度，要 $x>0$，取交集只剩 $x\ge2$。选 B 的同学停在了不等式的解集；选 C 读成了中间。

挑战

6. 关于 $x$ 的不等式 $mx^2-mx+1>0$ 对一切实数 $x$ 都成立，$m$ 的取值范围是？

B。卡在“真是二次吗”：$m$ 是参数，先看 $m=0$：式子变成 $1>0$，对所有 $x$ 都成立，所以 $m=0$ 要算进去。

$m\neq0$ 时是二次式。要整条抛物线都在 $x$ 轴上方，必须开口向上 $m>0$，并且和 $x$ 轴没有交点 $\Delta=m^2-4m<0$，得 $0<m<4$。$m=4$ 时 $\Delta=0$，式子是 $(2x-1)^2$，在 $x=\tfrac12$ 处等于 0，不满足“$>0$”。合起来是 $0\le m<4$。选 A 漏了 $m=0$；选 C 多了 $m=4$。可以在“动手”②里拉 $m$ 对照。

本节高考真题

共 32 道，含 11 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 25.2 降次——解一元二次方程求根公式、判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 与十字相乘因式分解，是高中定位二次函数零点并写出了一元二次不等式解集的基本功。
初中 · 26.3 二次函数与一元二次方程初中理解抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点横坐标即方程实根，高中顺势用抛物线在 $x$ 轴上方或下方统一解出二次不等式。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

不等式的证明解不等式函数的值域数列的和

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