5.3 导数在研究函数中的应用

单调区间：函数在这一段上一直增（或一直减），这一段就是它的单调递增（递减）区间。

例：\(f(x)=x^2\) 在 \((-\infty,0)\) 上递减，在 \((0,+\infty)\) 上递增。

驻点：使导数 \(f'(x)=0\) 的点，切线在此处于水平状态。

例：\(f(x)=x^2-4x\)，\(f'(x)=2x-4\)，令其为 \(0\) 得驻点 \(x=2\)。

极值点与极值：在 \(x_0\) 附近，\(f(x_0)\) 比周围的值都大（都小），\(x_0\) 叫极大（极小）值点（横坐标），\(f(x_0)\) 叫极大（极小）值（纵坐标）。

例：\(f(x)=(x-1)^2+3\) 的极小值点是 \(x=1\)，极小值是 \(f(1)=3\)。

最值：整个给定闭区间上绝对最大（最小）的函数值。极值看局部山头，最值看全域绝顶。

例：\(f(x)=x^2\) 在 \([-1,2]\) 上，极小值 \(f(0)=0\) 也是最小值；而最大值是端点值 \(f(2)=4\)。

例 1（看一遍怎么写）

求 \(f(x)=x-2\ln x\) 的单调区间。

定义域：\(\ln x\) 要求 \(x>0\)，即 \((0,+\infty)\)。

求导：\(f'(x)=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}\)。

判号：在 \((0,+\infty)\) 上分母 \(x>0\)，符号由 \(x-2\) 决定。当 \(0<x<2\) 时 \(f'(x)<0\)；当 \(x>2\) 时 \(f'(x)>0\)。

结论：单调递减区间为 \((0,2)\)，单调递增区间为 \((2,+\infty)\)。

例 2（求极值）

求 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+5\) 的极值。

求导并因式分解：\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)\)。令 \(f'(x)=0\) 得驻点 \(x=-1\) 和 \(x=2\)。

做变号判定表：

• \(x<-1\) 时 \(f'(x)>0\)；\(x=-1\) 处 \(f'=0\)；\(-1<x<2\) 时 \(f'(x)<0\)（左正右负 \(\implies\) 极大值点）。极大值 \(f(-1)=12\)。
• \(-1<x<2\) 时 \(f'(x)<0\)；\(x=2\) 处 \(f'=0\)；\(x>2\) 时 \(f'(x)>0\)（左负右正 \(\implies\) 极小值点）。极小值 \(f(2)=-15\)。

例 3（求最值）

求 \(f(x)=x^3-12x\) 在 \([-3,5]\) 上的最大值和最小值。

\(f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)\)，驻点 \(\pm2\) 均在区间内：\(f(-2)=16, f(2)=-16\)。

端点：\(f(-3)=-27+36=9\)，\(f(5)=125-60=65\)。

全盘比对 \(\{9, 16, -16, 65\}\)：最大值 \(65\)（在端点 \(x=5\) 取到），最小值 \(-16\)（在极小值点 \(x=2\) 取到）。

桥接例题

讨论 \(f(x)=x-a\ln x\) 的单调性。

卡在哪里：导数为 \(0\) 时 \(x=a\)，可 \(a\) 是字母，不知道 \(x=a\) 在不在定义域 \((0,+\infty)\) 里，判号判不下去。

看到什么信号：导数的零点里含参数，定义域又有限制。零点落在定义域内外，判号结果不一样。

第一步怎么做：通分后看分子，按 \(x=a\) 是否落在定义域内，把 \(a\) 分成 \(a\le0\) 和 \(a>0\) 两类。

完整解答：定义域为 \((0,+\infty)\)，\(f'(x)=1-\dfrac{a}{x}=\dfrac{x-a}{x}\)。分母 \(x>0\)，符号由 \(x-a\) 决定。

① 当 \(a\le0\) 时，对任意 \(x>0\) 都有 \(x-a>0\)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增。

② 当 \(a>0\) 时，\(0<x<a\) 时 \(f'(x)<0\)，\(x>a\) 时 \(f'(x)>0\)，\(f(x)\) 在 \((0,a)\) 上单调递减，在 \((a,+\infty)\) 上单调递增。

核对：取 \(a=2\) 落在②，正好是例 1 的结果。