2.1 等式性质与不等式性质

A。\(185-180=5\)：两个人都加了 \(20\)，差一点没变，谁高谁矮也不变。

比大小，其实就是看差：差是正的，前一个大。这一节先学会“看差”，再用它检查：两边同加、同乘、平方、取倒数以后，大小关系还在不在。加法像站台阶一样安全；别的操作，有时会把方向反过来。

B。作差：\(a^2+1-2a=(a-1)^2\ge0\)，\(a=1\) 时差是 \(0\)。选 A 的同学把“平方 \(\ge0\)”当成了“平方 \(>0\)”：\(a=1\) 时 \(2=2\)，不是严格大于。

B。乘 \(-2\) 要变向：\(-2a<-2b\)，再加 \(5\)：\(5-2a<5-2b\)。选 A 的同学乘了负数却忘了变向。

A。\(-2<-b<-1\)，加上 \(3<a<6\)：\(1<a-b<5\)。选 B 的同学“下限减下限、上限减上限”：\(3-1=2\)，\(6-2=4\)。可 \(a=5.9\)，\(b=1.1\) 时 \(a-b=4.8\)，已经超过 \(4\)。

答案 C。作差：\(\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac{b-a}{ab}\)，分子 \(b-a<0\)。\(ab>0\) 时整个差是负的，\(\dfrac1a<\dfrac1b\)；\(ab<0\) 时结论反过来。

B 的反例：\(a=2,\ b=-1\)，\(a>0\)，可 \(\tfrac12>-1\)。“大数的倒数小”只在两个数同号时才对。

B。作差：\((x^2+4x+3)-(x^2+4x+4)=-1<0\)，不管 \(x\) 是多少，前者总比后者小 \(1\)。选 D 的同学没算差就猜了：式子里有 \(x\)，差却可能是个常数。

A。乘 \(-2\) 变向：\(-4<-2x<2\)；再加 \(3\)：\(-1<3-2x<5\)。核对端点：\(x\) 接近 \(-1\) 时 \(3-2x\) 接近 \(5\)，\(x\) 接近 \(2\) 时接近 \(-1\)。B 是把 \(-2x\) 当成了 \(2x\)；C 是忘了加 \(3\)。

答案是 D：两边同时减去同一个数，差 \(a-b\) 一点没变，方向当然不变。

A：取 \(a=1,\ b=-2\)，\(a>b\)，可是 \(a^2=1<4=b^2\)。两边有负数时不能放心平方。

B：取 \(a=1,\ b=-1\)，\(\tfrac1a=1\)，\(\tfrac1b=-1\)，\(1<-1\) 不成立。而且 \(b=0\) 时 \(\tfrac1b\) 根本没有意义。

C：\(c=0\) 时两边都是 \(0\)；\(c<0\) 时方向还会反过来。

记住：两边同加同减同一个数不变向；乘、除、平方、取倒数之前，先查符号与定义条件。

答案 B。\(c^2\) 不会是负数，很多人就当它是正数，选 A。可它可以是 0。

①：\(c=0\) 时两边都是 \(0\)，\(0>0\) 不成立，所以 ① 错。

②：既然 \(ac^2>bc^2\)，两边就不可能都等于 0，说明 \(c^2\ne0\)，即 \(c^2>0\)。两边同除以正数 \(c^2\)，方向不变，得 \(a>b\)。② 对。

同一对式子，一个方向对、一个方向错——这就是“单向推论”。乘一个带字母的数之前，正、负、零三种情况都要想到。

答案 B。同向不等式能相加，不能随便相乘。

A、C 的反例：\(a=1,\ b=-2,\ c=1,\ d=-3\)。\(a,c\) 都是正数，但 \(ac=1\)，\(bd=6\)，\(ac<bd\)。

原因看作差：\(ac-bd=c(a-b)+b(c-d)\)。若再有 \(c>0\)、\(b>0\)，就能保证两项都正，从而 \(ac>bd\)。四个数都为正是一组充分条件，不能说是个别数值下乘积不等式成立的必要条件。例如 \(a=3,b=2,c=-1,d=-2\)，仍有 \(ac=-3>-4=bd\)。

A。常见错法：先分别求出 \(\dfrac12<a<\dfrac72\)，\(-\dfrac52<b<\dfrac12\)，再相加得 B。可 B 的上端要 \(a\) 靠近 \(\dfrac72\)、\(b\) 靠近 \(\dfrac12\) 同时发生：前者要 \(a-b\) 靠近 \(4\)，后者要 \(a-b\) 靠近 \(2\)，做不到。拆成 \(a\)、\(b\) 两个范围再相加，丢了它们之间的联系，范围被放大了。

正确做法：把 \(2a+3b\) 直接写成 \(a+b\) 和 \(a-b\) 的组合。设 \(2a+3b=m(a+b)+n(a-b)\)，比较系数 \(m+n=2\)，\(m-n=3\)，得 \(m=\dfrac52\)，\(n=-\dfrac12\)。

\(-\dfrac52<\dfrac52(a+b)<\dfrac{15}{2}\)，\(-2<-\dfrac12(a-b)<-1\)（乘负数变向），相加：\(-\dfrac92<2a+3b<\dfrac{13}{2}\)。两端分别在 \(a+b\to-1,\ a-b\to4\) 和 \(a+b\to3,\ a-b\to2\) 时靠近，都能无限接近。