2.2 基本不等式

算一算：\(9\times1=9\)，\(7\times3=21\)，\(6\times4=24\)，\(5\times5=25\)。D 最大。

看上面的方格图：长宽的和都是 \(10\)，扁长条（\(9\times1\)）只占 \(9\) 格；两条边越接近，围出的方格越多；正好相等成正方形（\(5\times5\)）时达到满格 \(25\)。

这一节就讲这件事：两个正数，和一定时，积在它们相等时最大；反过来，积一定时，和在它们相等时最小。

B。① 正：\(x>0\)；② 定：积 \(x\cdot\dfrac9x=9\) 是定值，故 \(x+\dfrac9x\ge 2\sqrt9=6\)；③ 等：当且仅当 \(x=\dfrac9x\) 即 \(x=3\) 时取到。选 A 的同学只算了 \(\sqrt9\)，漏乘了公式前面的 \(2\)！

C。\(\sqrt{xy}\le\dfrac{8}{2}=4\)，两边平方得 \(xy\le 16\)，当且仅当 \(x=y=4\) 时取到。选 A 的同学停在了 \(\sqrt{xy}\le 4\)，忘了平方！

A。两个正数 \(2x\) 和 \(\dfrac8x\)，积 \(2x\cdot\dfrac8x=16\) 是定值，所以和 \(\ge 2\sqrt{16}=8\)。等号要 \(2x=\dfrac8x\)，\(x=2\)，能取到。选 B 的同学只算了 \(\sqrt{16}\)；选 C 是代了 \(x=1\)，那只是一个值，不是最小的。

B。和是定值的是 \(2x\) 与 \(y\)（不是 \(x\) 与 \(y\)），先凑出来：\(xy=\dfrac12\cdot(2x)\cdot y\le\dfrac12\left(\dfrac{2x+y}{2}\right)^2=\dfrac12\cdot4=2\)。等号要 \(2x=y\)，配上 \(2x+y=4\) 得 \(x=1\)，\(y=2\)。选 C 的同学把 \(x\)、\(y\) 当成和为 \(4\) 了。

C。“正”这一条不满足：题目没说 \(x>0\)。取 \(x=-1\)，值是 \(-2\)；取 \(x=-10\)，值是 \(-10.1\)；\(x\) 往负的方向走，值要多小有多小。

A 只在 \(x>0\) 时对。B 的 \(-2\) 是 \(x<0\) 时的最大值，不是最小值。

B。“等”这一条不满足：\(x+\dfrac4x\ge 4\) 没错，但等号要 \(x=2\)，不在 \(x\ge3\) 里，\(4\) 只是下界。在“动手”②里把 \(k\) 调成 \(4\)、\(m\) 调成 \(3\)：这一段一直往上走，最低点在端点 \(x=3\)，值是 \(3+\dfrac43=\dfrac{13}{3}\)。代数验证不需要等到后面章节：当 \(x\ge3\) 时，\[x+\frac4x-\frac{13}{3}=\frac{(x-3)(3x-4)}{3x}\ge0.\]分母为正，分子两因式非负，且等号当且仅当 \(x=3\)，所以这就是最小值。

回顾与迁移：改条件后，基本不等式仍成立，失效的是“下界能够取到”这一步。下次遇到范围限制，先检验等号；必要时回到计划，用图找候选、用代数证明，别照搬上一题的最小值。

B。常见错法：\(\dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)，又 \(1=a+2b\ge 2\sqrt{2ab}\)，两步一接得 \(\ge 4\sqrt2\)。可第一步等号要 \(a=b\)，第二步要 \(a=2b\)，不可能同时成立，\(4\sqrt2\) 取不到。

正确做法只用一次：\(\dfrac1a+\dfrac1b=\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)(a+2b)=3+\dfrac{2b}{a}+\dfrac ab\ge 3+2\sqrt2\)，等号在 \(a=\sqrt2\,b\) 时取到，配上 \(a+2b=1\) 得 \(b=\dfrac{2-\sqrt2}{2}\)、\(a=\sqrt2-1\)，都是正数，能取到。