不等式知识图谱

分母不能为零，开方要满足被开方式非负。同乘或同除一个量前，先判断它的正负。使用基本不等式时，要核对参与估计的两项非负；仅有乘积为正还不够。例如 $x<0$ 时，$x$ 与 $16/x$ 都为负，不能直接套用正数的和与积估计。

对非负数 $a,b$，有 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$，等号当且仅当 $a=b$。看到互反项时，先算两个完整加数的乘积。例如 $u>0$ 时，$2u\cdot 8/u=16$，所以 $2u+8/u\ge 8$。取等要求 $2u=8/u$，结合正性得到 $u=2$。

猜到下界后，可以用目标式减去它，再检查差是否恒非负。例如 $x>0$ 时，$x+16/x-8=(x-4{)}^2/x\ge 0$。分子是平方，分母为正，因此这证明了下界；差为零还给出唯一取等位置 $x=4$。

对实数 $x,y$，柯西不等式给出 $(x+2y{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5(x^2+y^2)$。取等要求 $(x,y)$ 与 $(1,2)$ 成比例。这里不要求 $x,y$ 都为正；若改用分式形式，则要另外检查各分母为正。

“$F\ge L$ 对所有允许的变量成立”说明 $L$ 是下界。要说 $L$ 是最小值，还必须给出符合原条件的变量，使 $F=L$。例如 $0<t<1$ 时，$t(1-t)>0$，所以 $0$ 是下界；但它不能取到，因此不是最小值。

估计中的等号条件，要与原题条件一起检查。例如 $x+16/x\ge 8$ 的等号要求 $x=4$。若原题还要求 $x\ge 6$，这个位置已经不合法；下界 $8$ 仍成立，但不能据此宣布最小值是 $8$。

多次估计相加时，想达到相加后的下界，各步都必须同时取等。例如 $a,b>0$ 且 $a+b=10$，分别有 $a+1/a\ge 2$、$b+1/b\ge 2$。总和不小于 $4$，但取等要求 $a=b=1$，与原条件不相容，所以这个下界不能达到。

对 $x\ge 6$，先代入边界得到 $6+16/6=26/3$。再作差：$x+16/x-26/3=(x-6)(3x-8)/(3x)\ge 0$，所以最小值是 $26/3$，在 $x=6$ 取到。边界只是候选；上述恒非负证明不能省略。