培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 3 章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
图象往上走还是往下走、最高点和最低点在哪、左右是不是对称——这一节把这些“看得出来”的特点写成能检验的数学语言：单调性、最大（小）值、奇偶性。先从一天的气温开始。
记录某天 6、10、14、18 点的四次气温。这里额外假设相邻读数之间按直线变化，建立一个简化折线模型。横轴是时刻（小时），纵轴是气温（℃）。只有读数本身，不能断定两次记录之间一直升降。
在这个简化模型中，从 6 点到 18 点，气温怎么变？
C。6 点到 14 点一个比一个高，14 点以后一个比一个低，最高是 \(23^\circ\)。
“哪一段在升、哪一段在降”“最高是多少”，就是这一节的单调性和最大值、最小值。数学里还要更严：只有四次读数，说“6 点到 14 点一直在升”，得对这段里任意两个时刻都对。这一节后半还讲另一个特点：图象左右对称、绕原点对称，叫奇偶性。
一、单调性与最大（小）值
1. 先认识几个词：从“爬坡滑梯与对称折纸”建立直觉
要用到：函数、定义域和区间的写法（回看 3.1）；二次函数配方找顶点（回看 2.3）。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①函数四大核心形态：增、减、偶对称、奇对称
单调本质任意两点都要比（抽查几个点不作数！）
单调递增要求区间内“任意”两个自变量：\(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\)。哪怕抽查了 10 个点都在上升，中间只要有一小段回踩下滑，就绝对不能算增函数！
奇偶生死线定义域关于原点对称是第一前提！
判断奇偶性必须先看定义域！若定义域在原点两侧不对称（例如 \([-1, 2]\)），无论解析式如何完美对称，也一票否决、直接判定为“非奇非偶”！
2. 核心数学定义与性质总览
单调性：先指定定义域内的区间 \(D\)。任取 \(x_1,x_2\in D\)，且 \(x_1<x_2\)：若总有 \(f(x_1)<f(x_2)\)，就在 \(D\) 上递增；若总有 \(f(x_1)>f(x_2)\)，就在 \(D\) 上递减。
最值：对讨论范围内的所有 \(x\)，都有 \(f(x)\le M\)，且存在输入使 \(f(x)=M\)，\(M\) 才是最大值。把不等号改为 \(f(x)\ge m\)，且确有输入取到 \(m\)，就得到最小值。
奇偶性：定义域须关于原点对称。对其中每个 \(x\)，若 \(f(-x)=f(x)\)，则为偶函数；若 \(f(-x)=-f(x)\)，则为奇函数。零函数可既奇又偶；奇函数且 \(0\) 在定义域内才有 \(f(0)=0\)，反过来不成立。
单调区间端点写开写闭：例如 \((x-1)^2\) 在 \([1,+\infty)\) 和 \((1,+\infty)\) 上都递增；若求尽可能大的递增区间，应包含 \(1\)。增加端点还须比较端点值，不能仅凭有定义。端点不在定义域中时只能开。
3. 三步破题思维链：定义法证明单调性与最值求解
例 1（示范：定义法证明单调性思维链）
证明函数 \(f(x)=1-\dfrac2x\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增。
- 问函数单调性 → 回到定义，任取同一区间的 x₁
- 问最值且有闭区间 → 先找单调区间或关键点，再比较端点与驻点的函数值。
故差值 \(\frac{2(x_1-x_2)}{x_1x_2}<0\)，即 \(f(x_1)<f(x_2)\)，严格获证单调递增！
自己试试：\(f(x)=2x^2-5x\)。算得 \(f(1)=-3\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=3\)，一个比一个大。\(f(x)\) 在 \([1,3]\) 上单调递增吗？
C。配方：\(2x^2-5x=2\left(x-\frac54\right)^2-\frac{25}{8}\)，对称轴 \(x=\frac54\) 落在 \([1,3]\) 里，左边一小段在下降：\(1<\frac54\)，而 \(f\left(\frac54\right)=-\frac{25}{8}<-3=f(1)\)。抽查几个点（A）、只比两端（B）都不是“任意”；它的递增区间是 \(\left[\frac54,+\infty\right)\)。
例 2（闭区间二次函数最值）
求 \(f(x)=x^2-2x-1\) 在 \([-1,2]\) 上的最大值和最小值。
配方：\(f(x)=(x-1)^2-2\)。在 \([-1,1]\) 上递减，在 \([1,2]\) 上递增。
最小值在拐弯处：\(f(1)=-2\)。最大值比两端：\(f(-1)=2\)，\(f(2)=-1\)，所以最大值 \(2\)，在 \(x=-1\) 取到。
自己试试：\(f(x)=\dfrac6x\)，\(x\in[2,6]\)。最大值和最小值是？
A。\(\dfrac6x\) 在 \([2,6]\) 上递减，左端最大 \(f(2)=3\)，右端最小 \(f(6)=1\)。选 B 是当成递增了；选 C 把端点的 \(x\) 当成了函数值。
二、奇偶性及其应用
例 3（奇偶性代数判断）
判断奇偶性：(1) \(f(x)=x+\dfrac1x\)；(2) \(g(x)=x^4+x^2\)；(3) \(h(x)=x^2+x\)。
(1) 定义域 \(\{x\mid x\neq0\}\) 对称。\(f(-x)=-x-\dfrac1x=-f(x)\)，奇函数。
(2) 定义域 \(\mathbf R\)。\(g(-x)=(-x)^4+(-x)^2=g(x)\)，偶函数。
(3) 定义域 \(\mathbf R\)。\(h(-1)=0\)，\(h(1)=2\)，既不相等也不相反，非奇非偶。
进阶复习：组合函数不一定是单个幂函数。下面比较 \(x^3+1/x\) 和 \(\sqrt x+1/x\) 的自然定义域，再判断奇偶性。
自己试试：\(f(x)=x|x|\) 是？
A。定义域 \(\mathbf R\)。\(f(-x)=(-x)\cdot|-x|=-x|x|=-f(x)\)。选 B 的同学看到绝对值就以为是偶函数，可前面还乘了一个 \(x\)。
例 4（利用对称性已知一半求另一半）
\(f(x)\) 是定义在 \(\mathbf R\) 上的奇函数，\(x>0\) 时 \(f(x)=x^2-2x\)。求 \(f(-1)\)，以及 \(x<0\) 时的式子。
\(f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1\)。
\(x<0\) 时 \(-x>0\)，代入得：\(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x\)。由奇函数性质 \(f(x)=-f(-x)=-x^2-2x\)。另外 \(f(0)=0\)。
自己试试：\(f(x)\) 是偶函数，\(x\ge0\) 时 \(f(x)=x^2-3x\)。\(f(-2)=\)？
A。偶函数 \(f(-2)=f(2)=4-6=-2\)。选 B 是把 \(-2\) 直接代进 \(x\ge0\) 的式子，可那个式子只管 \(x\ge0\)；选 C 是当成奇函数，多了个负号。
进阶衔接：平方幂函数是偶函数。若只给 \(x\ge0\) 的平方规则，再要求整个函数为奇函数，左半支应改为 \(-x^2\)，所得函数为 \(x|x|\)，并非原来的平方函数。下面的视频演示这次条件变化。
4. 用之前必查：三大高频翻车现场
再深一点（可以先跳过）
奇函数的定义域包含 \(0\) 时，能否只用定义证明 \(f(0)=0\)？反过来成立吗？
展开思路与核对
奇函数在原点有定义必有 \(f(0)=0\)：由 \(f(-0)=-f(0)\implies f(0)=-f(0)\implies 2f(0)=0\implies f(0)=0\)。逆命题不成立，例如平方函数。
图一：拖区间，看单调和最值
选一个函数，拖 \(x\) 轴上的两个端点 \(a\)、\(b\)（键盘：Tab 选中，左右方向键移动），再切换端点开、闭。下面会算出这段区间上是否单调、有没有最大值和最小值；不单调时，图上用两条虚线标出一对反例。实心点表示取得到，空心点表示取不到。先用二次函数；后两个是边界情形（进阶）：跨过 \(0\) 的 \(\frac2x\)、在 \(0\) 处往下跳的分段函数。
图二：拖点 P，看 \(f(-x)\) 和 \(f(x)\)
拖曲线上的点 \(P(t,f(t))\)（键盘：Tab 选中后用左右方向键）。\(Q\) 是曲线上横坐标为 \(-t\) 的点；蓝色方块是 \(P\) 关于 \(y\) 轴的对称点，橙色菱形是 \(P\) 关于原点的对称点。\(Q\) 和哪个重合，这一点就满足哪个等式。也可以把整条曲线翻折过去比一比。前两个是标准的偶函数、奇函数，后面几个是边界情形（进阶）。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. \(f(x)=-x^2+4x\)，\(x\in[0,3]\)。最大值和最小值是？
A。配方 \(f(x)=-(x-2)^2+4\)，在 \([0,2]\) 上递增、\([2,3]\) 上递减。最大值在拐弯处 \(f(2)=4\)；最小值比两端：\(f(0)=0\)，\(f(3)=3\)，取 \(0\)。选 B 是只比了两端，漏了顶点；选 C 是两端只看了右端。
2. \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbf R\) 上的奇函数，\(x>0\) 时 \(f(x)=x^2+1\)。\(f(-2)+f(0)=\)？
A。\(f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5\)；奇函数在 \(0\) 有定义，\(f(0)=0\)。选 B 是把 \(0\) 代进了 \(x>0\) 的式子，得 \(f(0)=1\)，可那个式子不管 \(x=0\)；选 D 是只给 \(x^2\) 加了负号，\(-4+1\)。
易错
3. \(f(x)=\dfrac1x\)。下面哪个说法对？
C。（边界：分别单调不保证合并后仍单调。）每一支内部，\(x\) 变大 \(\dfrac1x\) 变小；可跨过 \(0\)：\(-1<1\)，\(f(-1)=-1<f(1)=1\)，反而变大。一对反例就推翻了“减函数”。
所以递减区间写“\((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\)”，本例不在两段的并集上递减。选 A 只看了每一支自己内部。
4. \(f(x)=x^2\)，\(x\in[-1,2)\)。它的最大值和最小值是？
C。（边界：开端点可能取不到。）最小值：\(x=0\) 在区间里，\(f(0)=0\)，而且 \(x^2\ge0\)，两条都满足。
最大值：\(x\) 越靠近 \(2\)，\(x^2\) 越接近 \(4\)，可 \(2\) 不在区间里，\(4\) 取不到（A 错）；\(1\) 又压不住，\(f(1.5)=2.25>1\)（B 错）。比 \(4\) 小的数都会被超过，所以没有最大值。
5. 下面说法正确的是？
C。对所有 \(x\)，\(f(-x)=0\)，既等于 \(f(x)\) 也等于 \(-f(x)\)。A 在已知定义域为全体实数时，把“奇函数 \(\Rightarrow f(0)=0\)”反过来用了，\(x^2\) 就是反例。B 的定义域不关于原点对称，第一步就排除。D：\(f(-1)=0\)，\(-f(1)=-2\)，不相等。在图二里点“\(\frac12x^2-2,\ x\in[-2,3]\)”和“\(\frac14x^3-x+1\)”看看。
挑战
6. \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbf R\) 上的奇函数，在 \([0,+\infty)\) 上单调递增。满足 \(f(2x-1)+f(x-2)>0\) 的 \(x\) 的范围是？
提示：先找结构
先比较两个负输入，再比较分处零点两侧的输入。奇性怎样把它们转到已知区间？
什么时候能连起来：奇函数在 \([0,+\infty)\) 上递增，那它在 \((-\infty,0]\) 上也递增；左边的值都 \(\le f(0)=0\)，右边都 \(\ge0\)，跨过 \(0\) 也不往回走，所以在 \(\mathbf R\) 上递增。
A。第一步，\(f\) 在整个 \(\mathbf R\) 上递增：奇函数两侧单调性相同，\((-\infty,0]\) 上也递增；左边的值 \(\le f(0)=0\)，右边的 \(\ge0\)，接得上（见本题回顾）。
第二步，移项再用奇函数：\(f(2x-1)>-f(x-2)=f(2-x)\)。递增，所以 \(2x-1>2-x\)，\(x>1\)。
选 B 是把 \(-f(x-2)\) 当成了 \(f(x-2)\)，得 \(2x-1>x-2\)；选 C 是把不等号方向弄反了，递增函数去掉 \(f\) 时方向不变。
本节高考真题
共 79 道，含 4 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 23.2 一次函数的图象和性质初中对一次函数“$y$ 随 $x$ 增大而增大（或减小）”的观察，在高中用任意 $x_1<x_2$ 时 $f(x_1)<f(x_2)$ 的符号语言严格定义为函数单调性。
- 初中 · 26.2 二次函数的图象和性质二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的图象关于直线 $x=-b/(2a)$ 对称，顶点处取得全局最值；当 $b=0$ 时图象才关于 $y$ 轴对称，是偶函数的例子。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。
打开一试专题地图，还有 3 个专题也以这一节为先修