2010 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

由于 $1/3\le a\le 1$，顶点 $x=1/a\in [1,3]$，所以 $N(a)=1-1/a$。又 $f(1)=a-1$、$f(3)=9a-5$，后者减前者为 $8a-4$，故 $M(a)=a-1$（$1/3\le a\le 1/2$），$M(a)=9a-5$（$1/2\le a\le 1$）。于是 $\boxed{g(a)=\{\begin{array}{ll}a+1/a-2,& 1/3\le a\le 1/2,\\ 9a+1/a-6,& 1/2\le a\le 1.\end{array}}$。第一段中 $g(a)-1/2=\frac{(2a-1)(a-2)}{2a}\ge 0$；第二段中 $g(a)-1/2=\frac{(2a-1)(9a-2)}{2a}\ge 0$。所以 $\boxed{g(a)\ge 1/2}$，且等号恰在 $a=1/2$ 成立。