培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 4 章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
从折纸的整数倍增出发，认识实数指数上的函数：先查正底数且不等于一，再看增减、定点和值域，用来比较大小和解不等式。
一张纸对折一次变成 \(2\) 层，再对折变成 \(4\) 层，再对折变成 \(8\) 层……先算一算，作答后再用图解一步步对折，核对纸堆层数的变化。
一共对折 \(5\) 次，纸有几层？
每折一次，层数乘 \(2\)：\(2,4,8,16,32\)。折 \(5\) 次是 \(2^5=32\) 层，选 D。
折 \(x\) 次就是 \(2^x\) 层，这里 \(x\) 只能取非负整数。这里次数 \(x\) 在指数上：\(x\) 每加 \(1\)，层数就乘同一个数 \(2\)。
把整数点的倍增规律按4.1的实指数推广后，才得到定义在全体实数上的函数 \(y=a^x\)。负数或非整数输入不再表示真实折纸次数。这一节讲这种推广函数：它长什么样，底数 \(a\) 大于 \(1\) 和小于 \(1\) 有什么不同，怎么用它比大小、解不等式。
1. 先认识几个词：底数条件、增减与定点
要用到：4.1 的分数指数幂、负指数幂（回看 4.1）；3.1 的值域与 3.2 的单调性（回看 3.1、回看 3.2）。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①同一坐标尺度下比较递增、递减与对称
单调性命脉底数 \(a>1\)（同向）vs \(0<a<1\)（反向！）
底数比 1 大时函数严格递增，脱底数不等号方向保持一致；底数介于 0 到 1 时严格递减，脱去底数不等号必须强力反向！解含参不等式第一件事就是对底数按 1 分类讨论！
图象特征值域 \((0,+\infty)\)，图象过定点 \((0,1)\)
不管底数 \(a\) 为何值（\(a>0, a\ne1\)），都有 \(a^0=1\)，图象恒过 \((0,1)\)！而且 \(a^x>0\) 处处成立，图象全在 \(x\) 轴上方，绝无任何零点与负值！
定义与范围：固定底数 \(a>0\) 且 \(a\ne1\)，函数 \(y=a^x\) 叫指数函数，定义域 \(\mathbb R\)，值域 \((0,+\infty)\)。这里的标准形式是 \(y=a^x\)；例如 \(2\cdot3^x\) 是指数型表达式，与该基本形式要区分。
值域是整个正实数区间，不只是“永远大于零”。 \(y=0\) 是渐近线，图象不会碰到它。
\(y=\left(\tfrac1a\right)^x\) 和 \(y=a^x\) 关于 \(y\) 轴对称：因为 \(\left(\tfrac1a\right)^x=a^{-x}\)，前一个在 \(x\) 处的值，就是后一个在 \(-x\) 处的值。会画 \(a>1\) 的图，翻过去就得到 \(0<a<1\) 的图。“动手”①里勾选一下就能看到。
2. 核心数学性质与脱底数解不等式法则
下列等价变形都在两边指数有意义的共同定义域内进行；如果指数含根式、分式，最后还要与原定义域取交集。
当 \(a>1\) 时递增：
脱去底数，不等号保持同向。
\(\color{#2F7A56}{a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)}\)
当 \(0<a<1\) 时递减：
脱去底数，不等号必须反转！
\(\color{#966524}{a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)}\)
枢纽定点 \((0,1)\) 与恒正值域：
\(\color{#3E5C76}{a^0=1,\quad a^x \in (0, +\infty)}\)
例 1（指数函数的底数限制条件）
\(y=(a-2)^x\) 是指数函数，求 \(a\) 的取值范围。
底数必须满足大于 \(0\) 且不等于 \(1\)：\(a-2>0\) 且 \(a-2\ne1\)。
解得 \(a>2\) 且 \(a\ne3\)。
自己试试：\(y=(2a-1)^x\) 是指数函数，\(a\) 的取值范围是？
B。\(2a-1>0 \implies a>\tfrac12\)；且 \(2a-1\ne1 \implies a\ne1\)。选 A 的同学漏了“底数不等于 \(1\)”：\(a=1\) 时 \(y=1^x\equiv1\)，失去指数变化特性。
例 2（闭区间上的单调最值）
求 \(y=2^x\) 在 \([-1,3]\) 上的最大值和最小值。
底数 \(2>1\)，函数单调递增：\(x\) 越大，\(y\) 越大。
所以最小值在左端点：\(2^{-1}=\tfrac12\)；最大值在右端点：\(2^3=8\)。值域为 \([\tfrac12, 8]\)。
自己试试：\(y=\left(\tfrac12\right)^x\) 在 \([-1,2]\) 上的最大值是？
A。底数 \(\tfrac12<1\)，函数单调递减，最大值在左端点：\(\left(\tfrac12\right)^{-1}=2\)。选 B 的同学去算了右端点 \(x=2\)，算出的 \(\tfrac14\) 是最小值。
3. 三步破题思维链：指数不等式求解与巧借中间量比大小
例 3（示范：指数不等式与中间量比大小思维链）
解不等式 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2-2x} \ge \dfrac{1}{27}\)；并比较 \(1.5^{0.3}\) 与 \(0.8^{2}\) 的大小。
- 指数不等式 → 先统一底数，再看底数大于 1 还是在 0 与 1 之间决定方向。
- 比较两个指数式且底数不同 → 借 1 这个临界量，分别判断是否大于或小于 1。
\(x^2 - 2x \le 3 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0\)；
比大小：底数 \(1.5>1\)，指数 \(0.3>0 \implies 1.5^{0.3}>1.5^0=1\)；底数 \(0.8<1\)，指数 \(2>0 \implies 0.8^2<0.8^0=1\)。
比大小结论：\(1.5^{0.3} > 1 > 0.8^2\)，故 \(1.5^{0.3} > 0.8^2\)！
自己试试：\(1.7^{0.3}\) 和 \(0.9^{3.1}\) 哪个大？
A。拿 \(1\) 当中间量：\(1.7^{0.3}>1.7^0=1\)，\(0.9^{3.1}<0.9^0=1\)，所以 \(1.7^{0.3}>1>0.9^{3.1}\)。
选 B 是拿“指数大的大”去比两个不同底的数，可它们不在同一条曲线上；选 C 是没想到找中间量 \(1\)。
底数大小怎样影响图象：在 \(y\) 轴右边（\(x>0\)），底数越大，函数值越大、曲线越高；在 \(y\) 轴左边（\(x<0\)），顺序反过来；所有曲线都在 \((0,1)\) 交在一起。“动手”②可以拖着看。
同指数、不同底：比如 \(2^{0.3}\) 和 \(3^{0.3}\)，指数是正数，看 \(y\) 轴右边，底大的高，\(2^{0.3}<3^{0.3}\)；指数是负数时反过来。
4. 用之前必查：三大高频翻车现场
再深一点（可以先跳过）
\(y=2^x\) 是否处处高于 \(y=2x\)？试比较 \(x=1,1.5,2,10\) 时的函数值。
展开思路与核对
长得有多快：\(2^x\) 每次乘 \(2\)，\(x=10\) 时已经是 \(1024\)，\(x=20\) 时超过一百万。它和 \(y=2x\) 这类一次函数比谁长得快，要说清在哪一段 \(x\) 上比，4.4 会专门讲。
\(x=1,2\) 时两者相等；\(x=1.5\) 时 \(2^{1.5}\approx2.83<3\)；\(x=10\) 时 \(1024>20\)。比较大小要说明范围。
① 拖底数，看曲线
拖滑块改底数 \(a\)，看曲线怎么变；拖曲线上的橙点 P（或选中后按左右方向键）看函数值和 \(1\) 的大小关系。勾选后同时画出 \(y=\left(\tfrac1a\right)^x\)。
② 进阶：两个底数，谁大要看 \(x\) 在哪边
两条曲线 \(y=a^x\) 和 \(y=b^x\)。拖图（或用 \(x\) 滑块）移动竖线，比较同一个 \(x\) 处两个值的大小。先看 \(x>0\)，再把竖线拖到 \(y\) 轴左边。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 不等式 \(2^x\ge\tfrac14\) 的解集是？
A。先化成同底：\(\tfrac14=2^{-2}\)，不等式是 \(2^x\ge2^{-2}\)。底数 \(2>1\)，递增，不等号不变，\(x\ge-2\)。选 C 的同学把 \(\tfrac14\) 写成了 \(2^2\)；选 D 是直接把 \(\tfrac14\) 当成了指数。
2. \(a>0\) 且 \(a\ne1\)。函数 \(y=a^{x-1}+2\) 的图象一定经过哪个点？
C。不管 \(a\) 是多少，\(a^0=1\)。让指数 \(x-1=0\)，即 \(x=1\)，这时 \(y=1+2=3\)。选 A 是照搬 \(y=a^x\) 的定点；选 B 是忘了 \(a^0\) 是 \(1\) 不是 \(0\)。
视频对应上面第2题的公共定点，再追加“已知定点反求常数”的一问。
易错
3. 下面哪一个是指数函数？
答案 D：底数 \(\tfrac13\) 满足 \(a>0\) 且 \(a\ne1\)。
A 底数是负数，\(x=\tfrac12\) 时就没有意义；B 底数是 1，\(y\) 恒等于 1，被定义排除了；C 变量在底数上，不是指数函数。
有同学觉得“\(\tfrac13\) 小于 1，不像指数函数”——底数小于 1 完全可以，只是函数递减。
4. 不等式 \(\left(\tfrac12\right)^x>\left(\tfrac12\right)^3\) 的解集是？
答案 B。底数 \(\tfrac12\) 在 \(0\) 和 \(1\) 之间，\(y=\left(\tfrac12\right)^x\) 是减函数：函数值大，自变量反而小。去掉底数时不等号要反过来，得 \(x<3\)。
选 A 是把所有指数函数都当成增函数了。验证一下：\(x=0\) 时左边是 1，确实比 \(\tfrac18\) 大，而 \(0<3\)。
5. 当 \(x=-2\) 时，\(2^x\) 和 \(3^x\) 哪个大？
答案是 B。算一下：\(2^{-2}=\tfrac14\)，\(3^{-2}=\tfrac19\)，而 \(\tfrac14>\tfrac19\)。
“底数大，值就大”只在 \(x>0\) 时对。指数是负数时，\(a^{-2}=\tfrac{1}{a^2}\)，底数越大，分母越大，值反而越小。在“动手”②里把竖线拖到 \(x=-2\) 就能看到：\(y\) 轴左边两条曲线的上下正好反过来。
下面用三个幂练习同底单调与跨1比较，并回看第5题的固定负指数反例。
挑战
6. \(a>0\) 且 \(a\ne1\)，函数 \(y=a^x\) 在 \([1,2]\) 上的最大值比最小值大 \(\tfrac a2\)。\(a\) 等于？
C。底数含字母，先分两种情况。
\(a>1\)：递增，最大 \(a^2\)、最小 \(a\)，\(a^2-a=\tfrac a2\)，得 \(a=\tfrac32\)，满足 \(a>1\)。
\(0<a<1\)：递减，最大 \(a\)、最小 \(a^2\)，\(a-a^2=\tfrac a2\)，得 \(a=\tfrac12\)，满足 \(0<a<1\)。
两个都对。选 A 的同学默认了 \(a>1\)，漏掉了递减的情况。
本节高考真题
共 21 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
正在加载精选题…
选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。