2026 年中科大少年班营一 · 第 3 题

解答

由右端为正且 $x,y>0$，得 $x>1,y>1$。两式相减为

若 $x=y=t>1$，则 $t^4(t-1)=625/1024$。左端在 $t>1$ 严格递增，而 $t=5/4$ 恰满足，所以这一支只有 $(5/4,5/4)$。若 $x+y=xy$，则 $(x-1)(y-1)=1$，故 $xy=x+y\ge 4$。又由 $x-1=x/y$，原第一式左端为 $(xy{)}^2\ge 16$，与右端小于一矛盾。因此全部解为