培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 3 章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
初中说“y 随 x 变化”，高中换成集合的语言：每个 x 都要有、而且只有一个 y。这一节把这句话说清楚，再学会求定义域、用三种方法表示函数、和分段函数打交道。先从一台饮料机开始。
本节概念地图先认词 → 再认关系 → 再看做法 → 自己用
核心概念：函数把定义域中的每一个输入 \(x\) 唯一地对应到一个输出 \(y\)。
▶ 概念课视频｜先看这里前置：集合与元素、交集、初中函数图象 解锁：函数的基本性质、幂函数与函数应用
学校门口有一台饮料机，按设计每个按钮应稳定对应一种饮料。先亲手按一按下面的按钮（特别是 3 号按钮，多按几次试试），看看每次掉出什么：
有同学抱怨了三件事，哪一件说明这台机器真的有毛病？
C。A、B 都不碍事：按哪个按钮，你都知道会拿到什么。C 不行：按同一个 3 号按钮，出来什么说不准。（要是有个按钮按了什么都不出，也算毛病。）
把按钮看成 \(x\)，饮料看成 \(y\)：每个按钮都出东西，而且只出确定的一种。这说明函数所要求的“每个输入都有唯一输出”。饮料机是帮助理解对应关系的比喻；本节正式研究的函数以实数作为输入和输出。看上面的对应图：A 是“两个 \(x\) 对应同一个 \(y\)（多对一）”，B 是“有的 \(y\) 没被用到”，这两种都允许；唯独 C 的“一对多”绝对不行。
这一节把这句话说清楚，再学会求定义域、用三种方法表示函数、和分段函数打交道。
1. 概念定义｜先认识几个词：从“黑箱法则与售货机映射”建立直觉
要用到：集合、元素和描述法（回看 1.1），交集（回看 1.3）；初中学过的一次函数、二次函数图象。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①函数对应法则：输入 x 唯一映射到输出 y
核心本质每个 x 唯一对应 y（垂直线法则）
定义域内每一个 \(x\) 都必须有且仅有一个输出。给定定义域后，其中每个 \(x\) 对应的竖线必须与图象恰有一个交点；定义域外的竖线没有交点。若某条竖线出现两个交点，图形就不能作为 \(y=f(x)\) 的图象，例如圆 \(x^2+y^2=1\)。
同一函数的判定定义域相同 且 对应关系相同
式子长得像不等于同一个函数！\(f(x)=x\)（定义域 \(\mathbf{R}\)）与 \(g(x)=\dfrac{x^2}{x}\)（定义域 \(x\ne 0\)），后者在原点处有个“暗洞”，二者定义域不同，绝非同一函数！
2. 函数的数学定义与三要素
设 \(A\)、\(B\) 都是非空实数集。按照确定的对应关系 \(f\)，\(A\) 中每一个 \(x\) 在 \(B\) 中都有唯一的 \(y\) 与之对应，就称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，记作 \(y=f(x)\)。\(A\) 是定义域，所有实际输出组成的集合是值域，值域包含于 \(B\)，不必用满 \(B\)。记号 \(f(x)\) 是输入 \(x\) 时的函数值，不能看作 \(f\) 乘 \(x\)。
输入范围：\(\color{#2F7A56}{x\in A}\)；对应关系：\(\color{#2F7A56}{y=f(x)}\)。
值域：\(\{f(x)\mid x\in A\}\subseteq B\)。
同一函数：定义域相同，且每个输入对应的输出相同。
自变量字母不影响函数：在同一定义域上，\(f(x)=x^2\) 与 \(g(t)=t^2\) 相同。
例 1（函数概念判定与值域）
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\)，\(B=\{0,1,2,3,4,5\}\)，对应关系“\(x\) 对应 \(x^2+1\)”。是从 \(A\) 到 \(B\) 的函数吗？值域是什么？
挨个算：\(-2\to5\)，\(-1\to2\)，\(0\to1\)，\(1\to2\)，\(2\to5\)。\(A\) 里每个数都有对应，每个只对应一个数，而且都在 \(B\) 里，所以是函数。
值域 \(=\{1,2,5\}\)。\(-2\) 和 \(2\) 都对应 \(5\)（多对一）没关系；\(B\) 里的 \(0,3,4\) 没被用到也没关系。
自己试试：\(A=\{0,1,4\}\)，\(B=\{-2,-1,0,1,2\}\)，对应关系“\(x\) 对应平方等于 \(x\) 的数”。这是从 \(A\) 到 \(B\) 的函数吗？
B。\(0\to0\) 没问题；可 \(1\) 对应 \(1\) 和 \(-1\)，\(4\) 对应 \(2\) 和 \(-2\)，不唯一。选 A 的同学多半只检查了 \(0\)。要一个一个查完，有一个 \(x\) 不合格就不是函数。C 不是理由：\(A\)、\(B\) 谁大谁小都不要紧。
例 2（同一函数比对法则）
\(f(x)=x\) 和 \(g(x)=(\sqrt x)^2\) 是同一个函数吗？
先比定义域：\(f\) 的定义域是 \(\mathbf R\)；\(g\) 里有 \(\sqrt x\)，要 \(x\ge0\)，定义域是 \([0,+\infty)\)。定义域不同，所以不是同一个函数。
虽然 \(x\ge0\) 时 \(g(x)\) 化简就是 \(x\)，但 \(f(-1)=-1\) 有意义，\(g(-1)\) 没有意义。
自己试试：\(f(x)=x^2\)，\(x\in\{-1,1\}\)；\(g(x)=1\)，\(x\in\{-1,1\}\)。它们是同一个函数吗？
A。定义域都是 \(\{-1,1\}\)；对应关系逐个比：\(f(-1)=1=g(-1)\)，\(f(1)=1=g(1)\)，每个 \(x\) 得到的数一样。选 B 的同学只看了式子的样子：比的是“每个 \(x\) 对应谁”，不是式子长得像不像。
三种表示法：规则、数据和图象
同一函数可按任务选择表示法：解析法便于计算，列表法便于逐个读数，图象法便于观察整体变化。列表必须列明全部输入，或明确它只是部分数据；有限样本不能代替整个函数。
例如 \(A=\{-1,0,1\}\)，按 \(f(x)=x^2\) 对应。解析法写明规则和定义域；列表如下：
| 输入 \(x\) | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| 输出 \(f(x)\) | 1 | 0 | 1 |
图象是点集 \(\{(x,f(x))\mid x\in A\}\)，在本例中只有 \((-1,1),(0,0),(1,1)\) 三个孤立点，不能连线。若另取定义域为 \(\mathbf R\)，同样的平方规则才得到完整的抛物线；这已是另一个函数。
竖线检验：一条曲线是不是某个函数的图象，就拿竖线从左扫到右，只要有一条竖线和它交在两点，就不是。圆 \(x^2+y^2=1\) 不是函数图象：竖线 \(x=0\) 交它于 \((0,1)\) 和 \((0,-1)\)。
3. 三步破题思维链：求定义域与分段函数求值
例 3（示范：求复合限制型定义域三步法）
求函数 \(f(x)=\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{x-2}\) 的定义域。
- 式子含根式、分式或对数 → 先列每个部分的定义域限制。
- 题目给分段函数求值 → 先定位自变量落在哪一段，再代入对应表达式。
自己试试：\(f(x)=\sqrt{6-2x}\) 的定义域是？
A。\(6-2x\ge0\)，即 \(2x\le6\)，\(x\le3\)。选 B 的同学漏了“\(=\)”：根号里是 \(0\) 也可以，\(\sqrt0=0\)。选 C 的同学把 \(-2x\ge-6\) 两边除以 \(-2\) 时忘了变号。
例 4（分段函数求值：分界点与嵌套）
\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\ x^2,&x\ge 0.\end{cases}\) 求 \(f(-2)\)、\(f(0)\)、\(f(f(-2))\)。
\(-2<0\)，用第一段：\(f(-2)=-2+1=-1\)。
\(0\ge0\)，用第二段：\(f(0)=0^2=0\)。
\(f(f(-2))=f(-1)\)，\(-1<0\)，用第一段：\(-1+1=0\)。
自己试试：\(f(x)=\begin{cases}2x,&x\le 1,\\ x+3,&x>1.\end{cases}\) \(f(f(1))=\)？
C。\(1\le1\)，用第一段：\(f(1)=2\)。再算 \(f(2)\)：\(2>1\)，用第二段：\(2+3=5\)。选 A 的同学只算了里面一层。选 D 的同学把 \(x=1\) 放进了第二段，得 \(f(1)=4\)、\(f(4)=7\)：分界点归哪段，要看“\(\le\)”写在哪边。
自己试试：一支笔 \(2\) 元，买 \(x\) 支共花 \(y\) 元，\(y=2x\)。这个函数的定义域和图象是？
C。式子 \(2x\) 本身对任何实数都有意义，但情境限制了 \(x\)：笔只能买整支，也不能买负数支，所以 \(x\in\mathbf N\)。图象只有 \((0,0),(1,2),(2,4),\dots\) 这些点，点和点之间没有东西，不能连线。选 A、B 的同学只看了式子，忘了情境。
零次幂：\(a^0=1\) 要求 \(a\ne0\)，\(0^0\) 没有意义。所以 \((x+1)^0\) 的定义域是 \(\{x\mid x\ne-1\}\)，不是 \(\mathbf R\)。
\(|x|\) 也是分段函数：\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}\) 很多带绝对值的式子，拆成分段函数就好画图了。
4. 用之前必查：三大高频翻车现场
① 定义域：在数轴上找“能代进去的 x”
选一个式子，数轴上绿色部分就是它的定义域（实心点取到，空心点取不到）。拖圆点 x 试着代入，看能不能算；也可以先按 Tab 选中圆点，再用方向键。
② 进阶：分段函数，拖分界点 b 和竖线 x₀
\(f(x)\) 左段是 \(x+1\)，右段是 \(x^2-1\)。拖下面的圆点 b 改分界点，拖上面的圆点 x₀ 移动竖线（也可以直接点图）；键盘先按 Tab 选中圆点，再用方向键。下面四个按钮决定分界点 \(b\) 归哪一段：试试“两段都含 b”和“两段都不含 b”，看竖线放在 \(b\) 上时出什么事。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. \(f(x)=x^2-2x\)，\(f(a+1)=\)？
A。两个 \(x\) 都换成 \(a+1\)：\((a+1)^2-2(a+1)=a^2+2a+1-2a-2=a^2-1\)。选 B 的同学只换了第一个 \(x\)，算成了 \((a+1)^2-2a\)。选 C 的同学以为 \(f(a+1)=f(a)+1\)：\(f\) 不是乘法，也不能这样拆。
2. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}\) 的定义域是？
A。根号里 \(x-1\ge0\)，得 \(x\ge1\)；分母 \(x-3\ne0\)，得 \(x\ne3\)。两条取交集。选 B 漏了 \(x=1\)（\(f(1)=\dfrac{0}{-2}=0\)，能算）；选 C 忘了分母；选 D 以为分母要大于 \(0\)。
易错
3. \(A=\{-1,0,1\}\)，\(B=\{0,1,2\}\)。对应关系是“\(x\) 对应 \(x^2\)”。这是从 \(A\) 到 \(B\) 的函数吗？
答案是 C。挨个看：\(-1\to 1\)，\(0\to 0\)，\(1\to 1\)。\(A\) 里每个 \(x\) 都有对应，而且只对应一个数，这就够了。
选 A 的同学把方向弄反了：函数要求的是“一个 \(x\) 不能对应两个 \(y\)”，两个 \(x\) 对应同一个 \(y\) 完全允许（\(y=x^2\) 天天这样）。选 B 的同学以为 \(B\) 要被用满：其实只有值域 \(\{0,1\}\) 是被用到的那部分，它是 \(B\) 的子集，不必等于 \(B\)。
4. 下面哪一组里的两个函数是同一个函数？
C。两个都是定义域 \(\mathbf R\)、把每个数变成它的绝对值，换个字母 \(t\) 不影响。A：\(g\) 的定义域不含 \(0\)，约分不能把这一点找回来。B：\(\sqrt{x^2}=|x|\)，\(x=-2\) 时 \(f=-2\)，\(g=2\)，对应关系不同。D：式子一样，但定义域不同。
5. 有同学写了 \(f(x)=\begin{cases}x,&x\le 1,\\ x+1,&x\ge 1.\end{cases}\) 这是一个函数吗？
B。两段都写了“\(=1\)”，\(x=1\) 就落在两段里，算出 \(1\) 和 \(2\) 两个值，违反了“唯一”。没有“先写的优先”这种规定。改法：把等号只留在一段，比如第二段写 \(x>1\)。在“动手”②里按“重置”（\(b=0\)），选“两段都含 b”，再把竖线拖到 \(0\)，就能看到一条竖线碰到两个点。
挑战
6. \(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\le 0,\\ 2x,&x>0.\end{cases}\) 若 \(f(a)=5\)，则 \(a=\)？
C。不知道 \(a\) 在哪一段，就两段都试，解出来再查它是否真在那一段。
若 \(a\le0\)：\(a^2+1=5\)，\(a=\pm2\)，只有 \(-2\) 满足 \(a\le0\)。若 \(a>0\)：\(2a=5\)，\(a=\dfrac52\)，满足 \(a>0\)。
选 D 的同学忘了检查：\(a=2\) 在第二段，\(f(2)=4\ne5\)。只选 A 或 B 的同学只试了一段。
本节高考真题
共 23 道，含 7 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 22.1 函数的概念初中“在一个变化过程中有两个变量 $x,y$”的描述性定义，在高中升级为两个非空数集之间通过对应关系 $f$ 建立的集合映射定义。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。
打开一试专题地图，还有 1 个专题也以这一节为先修