2008 年陕西预赛 · 第 8 题

解答

对所有实数 $x$，$\sqrt{1+x^2}\pm x>0$，且二者乘积为 $1$，所以 $f(x)=x^3+{\log }_2(\sqrt{1+x^2}+x)$ 是奇函数。其导数为 $f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{1}{\ln 2\sqrt{1+x^2}}>0$，故严格递增。由 $f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)$，分子的符号等于 $a+b$ 的符号。又 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，当 $a+b\ne 0$ 时第二因子严格正，分母非零且符号也等于 $a+b$。因此比值恒正，选 $\boxed{A}$。