培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 3 章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
用一次、二次、分段和反比例关系描述实际问题，再用学过的性质求答案。先统一单位、确定实际定义域，算完后检验方案能否实现。先从一个假设的打车计价模型开始。
假设打车按实际里程连续计费、不作里程进位：起步价 \(10\) 元，包含前 \(3\) 千米；超过 \(3\) 千米的部分，每千米 \(2\) 元。先点下面不同里程按钮，看出租车计价表怎么跳字：
下图横轴为里程（千米），纵轴为费用（元）；只讨论已经乘车的正里程。
坐了 \(8\) 千米，要付多少钱？
B。前 \(3\) 千米包在 \(10\) 元里，多出来 \(8-3=5\) 千米，每千米 \(2\) 元，是 \(10\) 元。合计 \(10+10=20\) 元。
你刚才其实写了一个函数：路程 \(x\) 千米（\(x>3\)）时，车费 \(y=10+2(x-3)\) 元。已乘车且 \(0<x\le3\) 千米时 \(y=10\)。路程一变，车费跟着变，规则分两段。
这一节就讲这件事：把生活里的规则写成函数，再用函数的性质回答“要付多少”“什么时候最省”“最大能到多少”。写的时候要多想一步：\(x\) 能取哪些值、单位是什么、算出来的数合不合实际。
1. 先认识几个词：关系式、单位与允许范围
要用到：3.1 的定义域（回看 3.1）；3.2 的单调性与最值（回看 3.2）；2.2 的基本不等式（回看 2.2）。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①靠墙围菜园：当墙长改变时，最大面积在哪里？
生命线纯数学定义域 vs 实际物理定义域
代数式 \(S=-2(x-6)^2+72\) 在代数上 \(x\in\mathbf{R}\) 处处有意义；但实际围菜园必须满足边长为正且不超过现有墙长！自变量边界不是题目白送的，必须按物理现实严密推求！
防坑法则开口方向、顶点与区间端点
本例开口向下、求最大值：顶点若在实际定义域内，可取顶点值；否则要根据单调性和端点是否可取判断。开口向上求最大值，须比较允许端点，不能照搬这一结论。
2. 核心数学建模法则与闭区间最值公式
建模：设变量并统一单位 → 列关系式 → 从现实条件定定义域 → 求解 → 回到情境检验。
对 \(S(x)=a(x-x_0)^2+k\)，先查 \(a\ne0\) 和开口方向。在闭区间 \([m,n]\)（\(m\le n\)）上，若 \(a<0\)，求最大值才是“顶点在内取 \(k\)，顶点在外取较近端点”；若 \(a>0\)，同样的规则求的是最小值。另一种最值比较两端的函数值。
实际定义域可能是开区间、半开区间、无界范围或整数集。端点取不到时不能把它的函数值当作已取得的最值；整数输入只比较允许的整数。
一次关系 \(y=kx+b\)：在给定闭区间上，可按单调性比较端点；\(k=0\) 时为常数。在开区间或无界范围上，要另查最值是否存在，不能直接说“必在端点取得”。
例 1（一次函数与单位换算）
手机套餐：月租 \(20\) 元，通话每分钟 \(0.1\) 元。某月话费 \(50\) 元，这个月通话多少分钟？
设：通话 \(x\) 分钟，话费 \(y\) 元。列：\(y=20+0.1x\)。定域：\(x\ge0\)。
求：\(20+0.1x=50\)，\(0.1x=30\)，\(x=300\)。验：\(300\ge0\)，代回 \(20+0.1\times300=50\)。答：通话 \(300\) 分钟。
自己试试：一辆车以 \(72\) km/h 匀速行驶。它行驶的路程 \(s\)（单位：米）关于时间 \(t\)（单位：秒）的函数是？
B。\(72\) km/h \(=\dfrac{72000\text{ 米}}{3600\text{ 秒}}=20\) 米/秒，所以 \(s=20t\)（\(t\ge0\)）。选 A 的同学没换算单位；C 是“千米/分钟”的数；D 把除以 \(3.6\) 做成了乘以 \(3.6\)。
3. 二次函数建模：实际范围、最值与整数限制
例 2：靠墙围菜园，先想办法再计算
用 \(24\) 米篱笆靠长 \(10\) 米的旧墙围矩形菜园（靠墙边不用篱笆）。求菜园面积的最大值及对应的长宽。
波利亚四问：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时可以回到前一问；下面的提示按需展开。
先读懂：\(24\) 米围的是哪几条边？\(10\) 米限制哪条边？求的是面积，最后还要报出哪两个长度？先在纸上画个矩形，标出已知量。
提示 1：怎样只用一个变量？
设垂直于墙的两边各长 \(x\) 米。篱笆只围三边，平行于墙的一边该从 \(24\) 米中扣掉几个 \(x\)？再把两种边长相乘，看看得到哪类函数。
提示 2：有了函数，为什么还不能直接取顶点？
把 \(S=x(24-2x)\) 配方，找出开口方向和顶点；同时写下 \(x>0\)、\(24-2x>0\) 与 \(24-2x\le10\)。顶点代表的菜园能靠这面墙围出来吗？若不能，想想函数在允许范围内怎样变化。
看完整示范：怎样选方法、求解并检验？
- 实际问题给数量关系 → 设一个主变量，把单位、边界和目标量都写成它的函数。
- 问最大/最小且有实际范围 → 先求函数在允许区间的最值，再检查整数、长度等限制。
此时另一边 \(24-2\times7=10\) 米，\(S_{\max}=7\times10=70\) 平方米。检查：两边均为正，\(2\times7+10=24\)，靠墙边恰好不超过 \(10\) 米。
回头看：只把墙长改成 \(20\) 米，会变什么？面积式不变，范围变为 \(2\le x<12\)。顶点 \(x=6\) 现在可行，另一边 \(12\) 米，最大面积 \(72\) 平方米。可以在“动手”②验证。可迁移的是“先建模、定范围，再找最值”，不能照搬上一题的端点或数值。
自己试试：某商品进价 \(40\) 元。售价定为 \(x\) 元（\(50\le x\le80\)）时，每天能卖 \((100-x)\) 件。每天的利润最大是多少元？
提示 1：先分清收入与利润
每件的利润是售价减进价。每天总利润应是“每件赚多少”乘“卖出多少件”，先自己写出关于 \(x\) 的函数。
提示 2：怎样判断最大值能否取得？
展开或配方得到二次函数，找顶点，再与题目给的售价范围比较。最后核对求出的是利润还是售价，以及销量是否为正。
A。每件赚 \(x-40\) 元，利润 \(y=(x-40)(100-x)=-(x-70)^2+900\)。顶点 \(x=70\) 在 \([50,80]\) 里，最大利润 \(900\) 元，售价 \(70\) 元。选 B 的同学用了“售价 \(\times\) 销量”，那是收入，忘了减进价；选 C 答的是售价，不是利润。
回头看：若售价上限改为 \(65\) 元，先自己判断：还能用顶点值作答案吗？
核对变式：函数没变，范围变了
顶点 \(70\) 不在 \([50,65]\) 内；利润在这个区间递增，故售价 \(65\) 元时最大，利润为 \((65-40)(100-65)=875\) 元。和菜园题一样，方法可以迁移，顶点能否取到必须重查。
4. 分段函数与反比例模型
例 3（分段函数反求自变量）
假设出租车按实际里程连续计费：起步 3 km 内 10 元，超出后每千米 2 元。某人付了 24 元，坐了多少千米？
列：\(y=\begin{cases}10, & 0<x\le3\\ 10+2(x-3), & x>3\end{cases}\)
定段：第一段车费恒为 10 元，因 \(24>10\)，必然落在第二段。
求与验：\(10+2(x-3)=24 \implies x=10\) 千米。代入 \(10>3\) 校验无误。答：坐了 10 千米。
自己试试：某地水费，每月用水 \(10\) 吨以内（含 \(10\) 吨）每吨 \(3\) 元；超过 \(10\) 吨的部分每吨 \(5\) 元。用水 \(14\) 吨交多少钱？
B。前 \(10\) 吨 \(10\times3=30\) 元，多出的 \(4\) 吨 \(4\times5=20\) 元，合计 \(50\) 元。选 A 全按 \(3\) 元算，选 C 全按 \(5\) 元算，都没分段；选 D 是 \(14\times3+4\times5\)，把多出的 \(4\) 吨算了两次。
例 4（反比例型与基本不等式）
某公司每年正好采购原料 200 吨，各批等量，每次采购 \(x\) 吨。每次运费 2 万元，年存储费为 \(x\) 万元。每次买多少吨总费用最省？
列：总费用 \(y=x+\dfrac{400}{x}\)（万元）。实际还须 \(0<x\le200\)、全年次数 \(200/x\) 为正整数。可先放宽到连续范围求下界，再检验次数条件。
求：因 \(x>0\)，由基本不等式 \(y \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{400}{x}} = 40\)。等号当且仅当 \(x=\dfrac{400}{x}\)，即 \(x=20\) 吨时成立。年采购次数 \(200/20=10\) 次为整数，可行！答：每次买 20 吨最省。
自己试试：要围一块面积 \(16\) 平方米的矩形，一边长 \(x\) 米。周长最小是多少米？
B。另一边 \(\dfrac{16}{x}\) 米，周长 \(L=2\left(x+\dfrac{16}{x}\right)\ge2\times2\sqrt{16}=16\)，\(x=4\)（正方形）时取到。选 A 的同学算的是 \(x+\dfrac{16}x\) 的最小值，忘了周长要乘 \(2\)；选 D 答的是边长。
本页反比例模型只讨论正输入 \(x>0\)，只用右侧分支；不能把跨过零点的两段合成一个单调区间，见 3.2。
5. 用之前必查：三大高频翻车现场
V(6,72) 不可行；E(8,64) 是实际最大点。横轴单位米，纵轴单位平方米；绿线为 [8,12)，空心端点不取。
整数解怎么比：本例开口向下，且 4 台和 5 台都合法。顶点在 \(4.25\)，\(|4-4.25|<|5-4.25|\)，所以 4 台对应的利润更大；也可分别代入检验。其他模型须重新检查开口与允许的整数。
再深一点（可以先跳过）
按实际用量连续计费，与“不足一单位按一单位算”的计费，图象在分界点附近会有什么不同？
展开思路与核对
分段函数的图象可以断开：本页按用量连续计费的阶梯电价，在分界点两边算出的钱一样，图象连成折线。真实的打车计价常把不足 \(1\) 千米按 \(1\) 千米算，车费会一格一格地跳，图象是一级一级的台阶。
① 阶梯电价
假设按实际用量连续计费。每月用电 \(x\) 度：前 \(200\) 度每度 \(0.5\) 元；\(200\) 到 \(400\) 度之间的部分每度 \(0.6\) 元；超过 \(400\) 度的部分每度 \(0.8\) 元。拖滑块或图上的点（或选中后按方向键），看电费落在哪一段。
② 进阶：靠墙围菜园，墙长变了最大值在哪
篱笆共 \(24\) 米。拉滑块改墙长 \(a\)；拖下面曲线上的圆点（或 Tab 选中后用左右方向键）改 \(x\)。图窗中的灰色虚线是代数抛物线，实线才是实际能取的部分；圆点示例按 0.5 米步进，不把控件的步长当成定义域。先点“墙长 20 米”，看最大值在顶点；再点“墙长 10 米”，看顶点取不到时最大值跑到哪。
从易到难排好了。前两道直接用，后三道是建模时最常见的错。
直接用
1. 健身房：年卡 \(600\) 元，不限次数；不办卡每次 \(30\) 元。一年至少去多少次，办年卡更省钱？
B。去 \(x\) 次，不办卡花 \(y=30x\) 元。办卡更省要 \(30x>600\)，\(x>20\)；次数是整数，至少 \(21\) 次。去 \(20\) 次时两种一样都是 \(600\) 元，谈不上“更省”，所以不选 A。
2. 用 \(40\) 米栅栏沿河岸围一块矩形场地，靠河一边不用栅栏，河岸足够长。场地面积最大是多少平方米？
卡住了？与菜园例题比较一下
仍只围三边，但栅栏总长变了，河岸也足够长。设垂直河岸的一边为 \(x\)，重新写另一边、面积式和允许范围；原来的“墙长限制”还需要保留吗？
A。垂直于河岸的两边各 \(x\) 米，另一边 \(40-2x\) 米，\(0<x<20\)。\(S=x(40-2x)=-2(x-10)^2+200\)，顶点 \(x=10\) 在定义域里，最大 \(200\) 平方米（这时平行河岸的一边 \(20\) 米）。选 B 的同学把三边当成两边，写成了 \(x(40-x)\)。
复盘迁移：仍用“一变量建模、定范围、查顶点”的计划；河岸足够长，少了墙长限制，所以顶点可以取到。迁移时保留思路，重新列本题的条件。
易错
3. 用 \(24\) 米长的篱笆，靠着一面墙围一块矩形菜园（靠墙那边不用篱笆）。墙长 \(10\) 米。菜园面积最大是多少？
B。设垂直于墙的两边各长 \(x\) 米，平行于墙的一边长 \(24-2x\) 米，面积 \(S=x(24-2x)=-2x^2+24x\)。
选 A 的同学直接取了顶点 \(x=6\)：这时平行于墙的边长 \(24-12=12\) 米，可墙只有 \(10\) 米，围不出来。实际要求 \(0<24-2x\le 10\)，也就是 \(7\le x<12\)。在这一段上抛物线一直往下走，所以最大值在 \(x=7\) 处：\(S=7\times10=70\)。在“动手”②里点“墙长 10 米”看看。
对应边界：定义域按实际定。顶点不在定义域里，最大值就不在顶点。
同类二次模型：下面改用限价销售问题，区分完整实际定义域与为了寻找最优而筛出的盈利区段。
4. 某厂每月生产 \(x\) 台机器（\(x\) 为正整数），月利润 \(y=-2x^2+27x-30\)（万元）。利润最大时每月生产多少台？
B。顶点横坐标 \(x=\dfrac{27}{4}=6.75\)，可台数只能是整数，A 不合实际意义。离顶点最近的两个整数是 \(6\) 和 \(7\)，都代进去算：\(x=6\) 时 \(y=60\)，\(x=7\) 时 \(y=61\)。所以 \(7\) 台，最大月利润 \(61\) 万元。
对应边界：该是整数的回到整数。定义域是正整数，不是一段区间。
5. 按“动手”①的阶梯电价（前 \(200\) 度每度 \(0.5\) 元，\(200\) 到 \(400\) 度的部分每度 \(0.6\) 元，超过 \(400\) 度的部分每度 \(0.8\) 元），小王家这个月交了 \(148\) 元电费。他家用电多少度？
C。先判断在哪一段：用满 \(200\) 度是 \(100\) 元，用满 \(400\) 度是 \(220\) 元，\(100<148\le220\)，所以在第二段。\(100+0.6(x-200)=148\)，得 \(x=280\)。
A 是全按 \(0.5\) 元算（\(148\div0.5\)），B 是全按 \(0.6\) 元算，都忘了分段。拿 A 验一下：\(296\) 度应交 \(100+0.6\times96=157.6\) 元，不是 \(148\) 元。在“动手”①里把点拖到 \(280\) 看看。
对应边界：分段反求先定段，再检验。解出的 \(x\) 要落在这一段里。
同类分段收费：下面用按实际时长计费的租车问题，练习先定段、再解式、后验根。
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一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。