2018 年河北预赛（高二卷） · 第 12 题

若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$ 且满足：①存在实数 $a\in (1,+\infty )$，使得 $f(a)=1$；②当 $m\in \mathbb{R}$ 且 $x\in (0,+\infty )$ 时，有 $f(x^m)-mf(x)=0$ 恒成立。

1. (1)

   证明 $f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$（其中 $x>0,y>0$）；

2. (2)

   判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的单调性，并证明；

3. (3)

   当 $t>0$ 时，不等式 $f(t^2+4)-f(t)\ge 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。