培玉 · 一试
2008 年辽宁预赛 · 第 13 题
F4解答题函数综合
13. 已知函数 ，且存在 使 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
连续严格递增函数在闭区间的值域为两端函数值之间的闭区间。不动点满足 ；根式换元应保留新变量非负。
想法从哪来：函数把一个闭区间恰好映回自身，先看单调性：严格递增意味着区间像的左、右端分别来自原左、右端，因此两个端点必须是两个不同不动点。根式不动点方程若直接平方，会丢失一边非负的条件，最好用根式本身作新变量，把符号约束一同保留。于是问题变成一个二次方程恰有两个不同非负根。判别式严格为正控制不同，根和为正配合根积非负控制非负；两种条件的端点性质不同，不可一概写成开区间。最后从两个根反解回原坐标，确认均在根式定义域内，便完成充分性。
函数严格递增，所以区间不变等价于存在两个不同的合法不动点。
解答
由于f严格递增，题设等价于 。令 ，不动点方程变为
要有两个不同的非负根，判别式须大于0，即4k+9>0；两根之和为1，乘积为−k−2，故还需k≤−2。这些条件也充分，因为两个不同非负根u、v给出合法x=u²−2、v²−2。故
复核
k=−2时不动点为−2、−1；k=−9/4时只有一个不动点，不满足a<b，必须排除。
方法总结
求根后需保留平方前的非负条件，区间端点的严格性由不动点是否不同决定。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需把值域自映射转化为方程 有两个定义域内不等实根，再核对较小根的定义域约束和端点，因此评为 F4。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：二次方程根的位置与符号
已记下，谢谢！