2017 年安徽预赛 · 第 11 题

思路

对非负U、V，有 $\sqrt{U^2+V^2}\le U+V\le \sqrt{2(U^2+V^2)}$。求值域要验证所有中间值可取得。

想法从哪来：两个根式直接分别估计，会把变量之间的耦合丢掉。先把两根式记成非负数U、V，看它们的平方和：下界可由两个分母都不超过二直接给出，再利用U加V至少为平方和的平方根。上界则相反，用柯西把和的平方压到二倍平方和；因此核心只是证明平方和不超过二。通分后虽然有四次项，区间零到一能把那项不对称乘积用较粗但同向的界控制，并不需要求二元偏导。最后沿对角线令两变量相等，函数连续扫过两个极值，这一步既确认端点可取，也确认整个区间没有缺值。

把两个根式记成非负量。先用分母上界求下界；上界则先估计两根式的平方和，再用柯西。最后沿一条简单的可行线给出全部中间值。