2011 年安徽预赛 · 第 2 题

解答

配方得

设 $P=(x,0)$，$U=(3a,a)$，$V=(-a,2a)$，并把 $U$ 关于横轴反射为 $U^{\prime }=(3a,-a)$。因 $PU=P{U}^{\prime }$，由三角不等式，

由于 $a>0$，$U^{\prime }$、$V$ 分居横轴两侧。线段 $U^{\prime }V$ 的参数式为 $(3a,-a)+t(-4a,3a)$，在 $t=1/3$ 处与横轴相交，所以 $x=5a/3$ 时等号成立。因此最小值恰为 $5a$。题给最小值10，得到 $5a=10$，故 $\boxed{a=2}$。